CSP-S 2024 第十次

AK 了就结束，USACO 赛制是吧（

神秘难度排序，D<C<A<B

A

手模一下可以发现线性基里的数最多也只有两位，考虑模拟一个数插进线性基的过程。

对于 $2^x$，其会依次异或上 $2^x+2^{x^{\prime }},2^{x^{\prime }}+2^{x^{″}}$……直到线性基里找不到最高位为 $x$ 的数，或者某时刻异或上了一个 $2^x$。

对于 $2^x+2^y$，无需考虑消去两位的顺序，$x,y$ 都会经历上述的变化。

这个变化的过程实际上就是在遍历一条链，于是直接用并查集把这条链维护出来，

具体地，对于线性基中的数 $2^x+2^{x^{\prime }}$，从 $x$ 向 $x^{\prime }$ 连边，对于线性基中的数 $2^x$，从 $x$ 向 $0$ 连边，

插入一个数时只需要找其所在链的结尾，在并查集上找祖先即可。

B

考虑钦定一个非叶子为根，从下往上贪心。设 $s_u$ 表示只在 $u$ 子树内操作，还有可能清除 $u$ 子树的情况下，$u$ 子树的叶子上至少还有多少石头，

（x : y 表示 $x$ 点上有 $y$ 块石头）

比如考虑这棵树上的 $2$ 子树，当然可以清扫 $(4,5)$ 两次使得叶子上没有石头，但这样 $2$ 子树就不可能清除了，

正确做法是清扫 $(4,5),(3,4),(3,5)$，所以 $s_2=2$。

设 $k=\sum _{v\in \text{son}(u)}{s}_v$，则此时在 $u$ 子树内进行的操作会使 $k$ 减去 $2$，$a_u$ 减去 $1$，

之后在 $u$ 子树外进行的操作如果对 $u$ 子树有影响，那么其会使 $k$ 和 $a_u$ 都减去 $1$，

所以任意时刻，还有可能清除 $u$ 子树当且仅当 $k\ge a_u$。

考虑此时在 $u$ 子树上能做几次操作。首先每次操作会使 $a_u$ 减去 $1$，不能做超过 $a_u$ 次操作，

另外假设做了 $x$ 次操作，那么需要保证 $k-2x\ge a_u-x$，则不能做超过 $k-a_u$ 次操作，

可以发现上面两个条件已经保证操作次数不超过 $k/2$ 了，

但是考虑一种极端情况，有一个 $s_v$ 超过了 $k/2$，那把除其以外的所有子树和其匹配完之后就匹配不了了，

也就是说这种情况下，不能做超过 $k-s_v$ 次操作。

而肯定是进行越多次操作越好，设最多能做 $o$ 次操作，则 $s_u=k-2o$。

C

考虑一个子集和 $s$ 可以使 $k\in [s/2,s]$ 合法（懒得考虑向上取整了，$s$ 可以使 $2k\in [s,2s]$ 合法），

注意到以此法产生的 $2k$ 取值区间并起来之后只有 $O(\log V)$ 个，所以每次加进一个 $a_i$，维护当前区间并即可。

具体地，若加入 $a_i$ 前存在取值区间 $[x,y]$，则加入 $a_i$ 后还存在取值区间 $[x+a_i,y+2a_i]$，扫描线一遍把它们并起来即可。

D

区间排序问题考虑莫队，发现只有加入的话可以用并查集维护当前围成的圈（也就是当前形成的连通块），

回滚莫队套可撤销并查集即可。