二项式反演:
设 表示在新树上钦定 条边与原树相同的方案数, 表示恰有 条边与原树相同的树的个数(答案),则只需求出 。
考虑求 。若连上某 条边后形成 个连通块,第 个连通块大小为 ,则钦定这 条边与原树相同的方案数为 。
(扩展 Cayley 定理)
考虑 的组合意义,发现就是从每个连通块里选一个点的方案数,
所以如果没有那个 ,就是要求选定 条边,再从形成的每个连通块里选一个点的方案数,
把 看成形成了 个连通块的方案的权值,则 就是选了 条边的每种方案的权值和。
Sol 1
设 表示在 子树中选择 条边,在 所在的连通块中是/否已经选了一个点的方案的权值和,树上背包转移即可。
空间开不下,所以把 的孩子 合并到 上之后,把 的状态占用的内存释放掉,这样空间是 的。
Sol 2
设 ( 是 的 OGF),考虑拉插出 的系数 。考虑如何求 的点值。
规定在之前的基础上,每连一条边方案的权值就乘上 ,即连 条边形成 个连通块的方案的权值为 ,
则 就是所有方案的权值和(没有选择边数限制),可以用上面的 DP 去掉第二维解决。
这样任取 个互不相同的 ,求出对应的 ,拉格朗日插值即可算出各项系数。
拉格朗日插值:
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