CSP-S 2024 第五次

建议倒序开题

A

枚举 $A,D$ 灯的亮度 $A,D$，设 $B,C$ 灯的亮度为 $B,C$，则可以得到不等式组：

$$\begin{array}{rl}& B/2+C/2\ge a-A-D/4\\ & B/2+C/2\ge d-D-A/4\\ & B+C/4\ge b-A/2-D/2\\ & B/4+C\ge c-A/2-D/2\end{array}$$

设 $B=4u+x,C=4v+y$，枚举 $x,y$，可得：

$$\begin{array}{rl}& 2u+2v\ge a-A-D/4-x/2-y/2\\ & 2u+2v\ge d-D-A/4-x/2-y/2\\ & 4u+v\ge b-A/2-D/2-x\\ & u+4v\ge c-A/2-D/2-y\end{array}$$

则只需要求满足下面两个式子的前提下 $u+v$ 的最小值，再与上面两个式子取 $max$ 即可。

发现满足下面两个式子的 $u,v$ 是两条直线与坐标轴围成的一个区域，而 $u+v$ 的最小值就在这两条直线的交点处取。

注意交点不在第一象限时 $u+v$ 最小值在坐标轴上取，需要特判。

B

先拆位把值域缩小到 $[0,1]$。

然后设 $f_{u,0/1,0/1/2,0/1}$ 表示考虑 $u$ 子树，$u$ 点的蚂蚁是/否向上爬，$u$ 点处有 0 只 / 1 只 / 超过 1 只蚂蚁，$u$ 点上的蚂蚁权值异或和为 0/1 时的答案。

C

考虑先让切换产生的权值最大（构造 $c$ 个 B，一个 A 交替出现的串），枚举 $c$ 个 B，一个 A 交替出现的次数 $i$，

考虑剩下的 A，首先把一个 A 放在开头就可以产生 1 的权值，其他的 A 随便塞到一个 A 段中，每 $a$ 个 A 产生 1 的权值。

考虑剩下的 B，首先把一个 B 放在最后就可以产生 1 的权值，然后把每个 B 段的长度补到 $b$ 的倍数加一使其产生 1 的权值，

最后把剩下的 B 随便塞到一个 B 段中，每 $b$ 个 B 产生 1 的权值。

D

归纳可证这个函数是个只分三段的分段函数，直接在线段树上合并即可。