CSP-S 2024 第十四次

A

调整法可证只需要考虑左端点或右端点在 \(a_i\) 上的区间，考虑对于一个区间 \([l,r]\) 计算答案。

注意到对于每对相邻的数，挤压后较大者仍然大于等于较小者，所以可以分别求较大者压缩后的和、较小者压缩后的和再相减。

以求较大者压缩后的和为例，小于 \(l\) 的数变成 \(l\)，大于 \(r\) 的数变成 \(r\)，中间的数不变，

把所有较大数排序后，二分出两个分界点，统计答案即可。

B

设 \(f_{u,0/1,0/1,0/1}\) 表示考虑 \(u\) 子树，\(u\) 是/否匹配上，子树内最左边的叶子是/否匹配上，子树内最右边的叶子是/否匹配上的方案数。

转移有一些细节，比如说加上的子树是一个叶子或者一条链的情况。

C

为了防止 corner case，先在左右各补一列，钦定最左边的一列必走第一行，最右边的一列必走第二行，

即 \((1,0)\) 到 \((1,1)\) 的边权、\((2,n)\) 到 \((2,n+1)\) 的边权为 \(0\)，\((1,n)\) 到 \((1,n+1)\) 的边权、\((2,0)\) 到 \((2,1)\) 的边权为 \(\infty\)。

考虑最小割建模。

对于 \(0\le i\le n\)，由源点向 \(i\) 连边权为 \((2,i)\) 到 \((2,i+1)\) 的边权的边，由 \(i\) 向汇点连边权为 \((1,i)\) 到 \((1,i+1)\) 的边权的边，

这样保留源点到 \(i\) 的边就相当于走了 \((1,i)\) 到 \((1,i+1)\) 的边，保留 \(i\) 到汇点的边就相当于走了 \((2,i)\) 到 \((2,i+1)\) 的边。

考虑特殊限制，相当于同时保留源点到 \(i\) 的边与 \(j\) 到汇点的边时产生额外 \(c\) 的代价，由 \(i\) 向 \(j\) 连边权为 \(c\) 的边即可。

考虑 \((1,i)\) 与 \((2,i)\) 之间的边，可以发现其实就是 \(i-1\) 与 \(i\) 保留不同侧的边时产生额外代价，和特殊限制是一样的。

D

枚举众数出现次数 \(k\)，考虑众数出现次数小于等于 \(k\) 的序列的 EGF，发现它是 \(\left(\sum\limits_{i=0}^k\dfrac{x^i}{i!}\right)^m\)，需要求其 \(n\) 项系数。

设 \(e_k(x)=\sum\limits_{i=0}^k\dfrac{x^i}{i!}\)，考虑对需要求的 \(e_k^m(x)\) 求导：

\[\begin{aligned} (e_k^m(x))'=&me_k^{m-1}(x)e_k'(x)\\ =&me_k^{m-1}(x)\left(e_k(x)-\dfrac{x^k}{k!}\right)\\ =&me_k^m(x)-\dfrac{mx^k}{k!}e_k^{m-1}(x) \end{aligned} \]

设 \(f_{m,n}=[x^n]e_k^m(x)\)，对上式两边同时提取 \(n\) 项系数：

\[\begin{aligned} [x^n](e_k^m(x))'&=[x^n]me_k^m(x)-[x^n]\dfrac{mx^k}{k!}e_k^{m-1}(x)\\ (n+1)f_{m,n+1}&=mf_{m,n}-\dfrac m{k!}f_{m-1,n-k} \end{aligned} \]

于是我们得到了 \(f\) 的递推式。

发现只需要求 \(f\) 的最后 \(n/k\) 行，所以复杂度 \(O(n^2/k)\)。总复杂度 \(O\left(\sum\limits_{k=1}^nn^2/k\right)=O(n^2\log n)\)。