关于最短路

前置知识：存图

又开了个史前巨坑

单源最短路

题意：给定源点 $s$，求 $s$ 到图上每个点的最短路径长度。

我们设当前已知的 $s\to i$ 的最短路长度为 $di{s}_i$。

我们考虑如何更新一条不那么优的路径。

比如下面 $1\to 3$ 的最短路径（$1$ 是源点）

很显然，最短路径是 $1\to 2\to 3$，长度为 $2$。

目前 $di{s}_2=1,di{s}_3=114514$。

那么我们就要用 $2\to 3$ 的 $1$ 来更新不那么优的 $di{s}_3$。

也就是 $di{s}_3=min(di{s}_3,di{s}_2+w(2,3))$。

（$w(u,v)$ 表示 $u,v$ 之间的边权长度）。

用大白话，如果从 2 绕更短就从从 2 绕，否则就保持原来的路径。

此时 $di{s}_3=min(114514,1+1)=2$，更新成功。

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这个操作我们下面称为 $relax(2,3)$，$relax$ 也就是平时说的“松弛”。

$relax(u,v)$ 定义为 $di{s}_v=min(di{s}_v,di{s}_u+w(u,v))$。

显然 $relax(u,v)$ 的目的是用 $u,v$ 之间的边权更新 $di{s}_v$。

这个式子应该是所有最短路算法的核心。

后面的算法都可以去这里看代码。

Bellman-Ford

非常好理解，把每个边都 $relaxn-1$ 遍。

那为什么是 $n-1$ 遍呢？其实我也不太懂

在最短路存在的情况下，由于一次松弛操作会使最短路的边数至少 $+1$，而最短路的边数最多为 $n-1$，因此整个算法最多执行 $n-1$ 轮松弛操作。

OIwiki上是这么说的。理解不了没关系，后面也用不到。

显而易见 $O(nm)$ 复杂度，所以一般的题都是过不去的。

SPFA

Shortest Path Faster Algorithm。

因为在 $relax(u,v)$ 后，下一次操作只可能是 $relax(v,$某个点$)$。

所以我们只需要按照 $bfs$ 遍历图（不限制一个点多次遍历），每次 $relax($遍历到的点，这个点的出点$)$ 即可。

实际上只是减少了上面那个算法的 $relax$ 次数，最坏情况下和上面一样 $O(nm)$。

所以没负权别用 SPFA。复杂度 $O(nk)$（$k=$玄学）。

当然 SPFA 有个优化叫 SLF：

将普通队列换成双端队列，每次将入队结点距离和队首比较，如果更大则插入至队尾，否则插入队首。

这种优化相对不容易被卡，可以带上。

Dijkstra

最实用的单源最短路。

仍然是 bfs，但过程有所改变：

1. 将队列换成优先队列（小根堆），每次将 $v$ 入队时也将 $di{s}_v$ 入队，按 $di{s}_v$ 排序小根堆。

2. 限制一个点多次入队，也就是遍历到 $v$ 后 $di{s}_v$ 确定为最优。

那么有同学就有疑问了：为什么每次遍历到 $v$ 后 $di{s}_v$ 就能确定为最优呢？

我们先假设所有 $di{s}_i$ 被确定为最优的 $i$ 在集合 $A$ 中，其他点在 $B$ 中。

当然，一开始 $A$ 中只有一个 $s$ 点。

那么，当前优先队列的队头 $v$ 就是 $A$ 中所有点的最小出边连的点，且在 $B$ 中。

所以我们可以确定，$v$ 的前驱点 $u$ 一定在 $A$ 中

既然 $A$ 中的点已经确定最短路，那么 $v$ 的最短路肯定要把这个与 $u$ 的相连的最短路走一遍。

那么再下一步，肯定要走这个最小出边，否则从别的点绕一定更远。

那如果有负权，就不一定了。

如果有负权，那从别的点绕可能可以再走一个负权边回来，比走最小出边更好。

所以 Dijkstra 不能跑负权。

言归正传， Dijkstra 的过程就是：

1. 找到 $A$ 中所有点的最小出边连的点（原在 $B$ 中），加入 $A$ 中。
2. $relax$ 这个点的所有出边。

当然，原来的 Dijkstra 是暴力找最小出边连的点，这里用堆优化。

如果你看不懂正确性证明也没关系，毕竟贪心不需要证明

全源最短路

Floyd

有人不会吗？

dp[i][j] 表示 $i$ 到 $j$ 最短路长度，

则有转移方程 dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j])(1≤k≤n)

Johnson

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