关于二维前缀和

引入

给你一个矩阵，你需要维护一种数据结构，要 $O(1)$ 询问子矩阵和，应该怎么写？

我们都知道，一维的子段和可以前缀和维护，可以考虑把前缀和扩展到 2 维。

假设二维前缀和矩阵是 $s$，也就是 $s_{xy}=\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y{a}_{ij}$，

通俗的说，$s_{xy}$ 表示在 $a$ 中从 $(1,1)$ 到 $(x,y)$ 的矩阵和。

初始化

用类似一维前缀和的方法初始化二维前缀和数组。

可以看出，黑框和=红框和+蓝框和-绿框和+a[x][y]。也就是：$$s[x][y]=s[x][y-1]+s[x-1][y]-s[x-1][y-1]+a[x][y]$$ 初始化完整个矩阵，复杂度 $O(n^2)$。

询问

也是用类似一维前缀和的方法询问二维区间和。假设要求 $(a,b)$ 到 $(c,d)$ 的区间和：

可以看出，区间和=黑框-红框-蓝框+绿框。也就是区间和=$$s[c][d]-s[c][b-1]-s[a-1][d]+s[a-1][b-1]$$

例题们

P2004 领地选择

P1387 最大正方形

以及上面那题的三倍经验：

P2733 家的范围和P2701巨大的牛棚

P2280 激光炸弹

P2822 组合数问题（需要数论前置知识）