CF1584A Mathematical Addition 题解

题意

给定 $u,v$，求 ${\displaystyle \frac{x}{u}}+{\displaystyle \frac{y}{v}}={\displaystyle \frac{x+y}{u+v}}$ 的任意一组整数解。

思路

先化简方程。两边同乘 $uv(u+v)$：$$xv(u+v)+yu(u+v)=uv(x+y)$$ 拆括号：$$xvu+x{v}^2+y{u}^2+yuv=uvx+uvy$$ 消去 $xvu,yuv$：$$x{v}^2+y{u}^2=0$$ 也就是说直线 $x{v}^2+y{u}^2=0$ 上的点都可以。

提公因式：$$u^2{v}^2({\displaystyle \frac{x}{u^2}}+{\displaystyle \frac{y}{v^2}})=0$$ 那么就很显然了，令 $x=u^{2}p,y=v^{2}q(p+q=0)$ 即可。

为了保险，$p,q$ 最好分别取 $\pm 1$。

代码

方案 1 $(p=1)$：

#include <iostream>
#define int long long
using namespace std;
signed main()
{
    int t;cin >> t;
    for(int i = 0, u, v;i < t;++i)
        cin >> u >> v, cout << u * u << " " << -v * v << endl;
    return 0;
}

方案 2 $(p=-1)$：

#include <iostream>
#define int long long
using namespace std;
signed main()
{
    int t;cin >> t;
    for(int i = 0, u, v;i < t;++i)
        cin >> u >> v, cout << -u * u << " " << v * v << endl;
    return 0;
}