CF1635A Min Or Sum

发个严谨点的证明罢。

引理

$$ x|y≤x+y $$ 先搞个真值表出来：

$a$	$b$	$a\vert b$	$a+b$
1	1	1	2
1	0	1	1
0	1	1	1
0	0	0	0

可以看出，对于任意二进制位 $a,b$，$a|b≤a+b$。

设 $x$ 的第 $k$ 个二进制位为 $x_k$，则对于任意 $x,y$，$x_k|y_k≤x_k+y_k$。

（如果 $x,y$ 位数不同，则在位数少的数前面补 $0$）

我们有：$$ x+y=\sum\limits2^k(x_k+y_k),x|y=\sum\limits2^k(x_k|y_k) $$ 作差法比较大小：$$ \begin{aligned} (x+y)-(x|y)&=\sum\limits2^k(x_k+y_k)-\sum\limits2^k(x_k|y_k)\\ &=\sum\limits2^k[(x_k+y_k)-(x_k|y_k)]≥0 \end{aligned} $$ 所以 $x|y≤x+y$。

思路

因为 $x|0=x$，所以可以把 $a_i,a_j$ 变成 $a_i|a_j,0$。

（$a_i|a_j=(a_i|a_j)|0$，符合题目要求）

这样做之后，原来的和 $a_i+a_j$ 就变成了 $a_i|a_j$，

根据引理可以知道 $a_i|a_j≤a_i+a_j$，比原来更优。

于是就可以对 $a_1$ 和 $a_{i∈[2,n]}$ 都执行一遍这个操作，

原数列就变成 $a_1|a_2|a_3|...|a_n,0,0,0...$，不含有加法，是最小值。

代码

#include <cstdio>
int T, n, s, t;
int main()
{
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d", &n);s = 0;
        while(n--) scanf("%d", &t), s |= t;
        printf("%d\n", s);
    }
    return 0;
}