P8241 [COCI2013-2014#3] RIJEČI 题解

基础思路

先来看点显然的。

我们设 $A$ 的个数为 $a$，$B$ 的个数为 $b$。

经过一次变换，$A\to B,B\to BA$，

只有 $B$ 会变出 $A$，那么就有 $a\leftarrow b$。

$A,B$ 都会变出 $B$，那么就有 $b\leftarrow a+b$。

变换的次数并不多，于是可以 $O(n)$ 模拟一下。

code：

#include <cstdio>
int main()
{
    int n, a = 1, b = 0, t;scanf("%d", &n);
    while(n--) t = a, a = b, b += t;
    return printf("%d %d", a, b), 0;
}

进阶亿点

我们发现题目中 $k$ 很小，如果 $k\ge 2\times {10}^8$ 怎么办呢？

纯递推，自然想到矩阵快速幂优化。设经过 $i$ 次转移的 $a,b$ 为 $A_i,B_i$。

推一下转移矩阵：$$\left[\begin{array}{cc}{A}_{i-1}& B_{i-1}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_i& B_i\end{array}\right]$$ 则有$$\{\begin{array}{l}{A}_i=a{A}_{i-1}+c{B}_{i-1}\\ B_i=b{A}_{i-1}+d{B}_{i-1}\end{array}$$ 我们知道$$\{\begin{array}{l}{A}_i=B_{i-1}\\ B_i=A_{i-1}+B_{i-1}\end{array}$$ 可以推得$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$$ 因为 $\left[\begin{array}{cc}{A}_0& B_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$，所以：$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\times {\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cc}{A}_n& B_n\end{array}\right]$$ 矩阵快速幂即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define F(i) for(int i = 0;i < 2;++i)
struct S{int a[2][2];S() {memset(a, 0, sizeof a);}S operator*(S b);}b, s;
S S::operator*(S b) {S c;F(k) F(i) F(j) c.a[i][j] += a[i][k] * b.a[k][j];return c;}
signed main()
{
    int n;scanf("%d", &n);
    s.a[0][0] = b.a[0][1] = b.a[1][0] = b.a[1][1] = 1;
    for(;n;n >>= 1) {if(n & 1) s = s * b;b = b * b;}
    return printf("%d %d", s.a[0][0], s.a[0][1]), 0;
}