FHQ 入土教程

应 Vector_S 要求。

如果觉得文章中的马蜂过于毒瘤，可以翻到最后看格式化过的。

前置知识：堆，BST。

FHQ Treap 是什么？

一种依靠 split 和 merge 保持平衡的平衡树。

广泛应用于序列维护问题。

结构体定义

考虑每个点需要维护什么。

$FHQ$ 是二叉树，所以要维护左右孩子 $l,r$。

$FHQ\in Treap\in CartesianTree$，当然要维护二元组 $(v,k)$。

这里规定 $v$ 维护 BST 性质，$k$ 维护小根堆性质。

一般平衡树题要维护排名信息，所以要维护每个点的子树大小 $s$。

还要有一个 $maintain$ （或者叫 $pushup$）来更新点信息，

这里的信息比较简单，只需要更新 $s$ 即可。

struct T
{
    T *l, *r;int v, k, s;
    T(int _v) : l(0), r(0), v(_v), k(rand()), s(1) {}
    void p() {s = 1;if(l) s += l -> s;if(r) s += r -> s;}
}*r; //根

Split(x,k,a,b)

分为两种：按权值分裂和按大小分裂。

按权值分裂

将 $x$ 分裂出 $v\le k$ 和 $v>k$ 的两棵子树 $a,b$。考虑递归实现：

1. $x$ 为空树：a = b = 0;
2. $x.v>k$：b = x, Split(x->l, k, a, b->l), b->p();

如果 $x.v>k$，则 $v\le k$ 的子树在 $x$ 的左子树中。

于是在 $x$ 的左子树中分裂出 $v\le k$ 的子树给 $a$，剩下的部分给 $b$ 的左子树。

$b$ 的右子树即为没人要的 $x$ 的右子树。

3. $x.v\le k$：a = x, Split(x->r, k, a->r, b), a->p();

同理，如果 $x.v\le k$，则 $v\le k$ 的子树在 $x$ 的右子树中。

于是在 $x$ 的右子树中分裂出 $v\le k$ 的子树给 $a$ 的右子树，剩下的部分给 $b$。

$a$ 的左子树即为 $x$ 的左子树。

void S(T *x, int k, T *&a, T *&b)
{
    if(!x) {a = b = 0;return;}
    if(x->v > k) b = x, S(x->l, k, a, b->l), b->p();
    else a = x, S(x->r, k, a->r, b), a->p();
}

按大小分裂

先咕着。

Merge(a,b)

合并 $a,b$ 两棵树，调用时须保证 $a$ 与 $b$ 在 $v$ 的中序遍历意义上连续。

这里规定 $a$ 的 $v$ 比 $b$ 的 $v$ 小。仍然考虑递归实现：

1. $a$ 为空树返回 $b$，$b$ 为空树返回 $a$。
2. $a.k<b.k$：将 $a$ 的右子树与 $b$ 合并。
3. $a.k\ge b.k$：将 $a$ 与 $b$ 的左子树合并。

这个比较好理解吧。

T *M(T *a, T *b)
{
    if(!a) return b;if(!b) return a;
    if(a->k < b->k) {a->r = M(a->r, b);a->p();return a;}
    else {b->l = M(a, b->l);b->p();return b;}
}

插入 v

分裂出权值 $\le v$ 和权值 $>v$ 的子树 $a,b$，用 $v$ 新建节点 $t$。

之后将 $a,t,b$ 顺次合并即可。

void I(int v) {T *a, *b;S(r, v, a, b);r = M(a, M(new T(v), b));}

删除 v

先分裂出权值 $\le v$ 和权值 $>v$ 的子树 $a,c$，

再把 $a$ 分裂成权值 $<v$ 和权值 $=v$ 的子树 $a,b$。

之后删掉一个 $=v$ 的点，可以 $b=Merge(b.l,b.r)$。

最后把 $a,b,c$ 顺次合并即可。

void D(int v) {T *a, *b, *c;S(r, v, a, c);S(a, v - 1, a, b);r = M(a, M(b->l, M(b->r, c)));delete b;}

查 v 的排名

分裂出权值 $<v$ 的子树 $a$，答案即为 $a.s+1$。

注意用完要合并回去。

int R(int v) {T *a, *b;int s;S(r, v - 1, a, b);s = (a ? a->s : 0) + 1;r = M(a, b);return s;}

第 k 大，前驱，后继

和 BST 一样，不会影响性质。

int K(T *x, int v)
{
    int z = x->l ? x->l->s : 0;if(v == z + 1) return x->v;
    if(v <= z) return K(x->l, v);else return K(x->r, v - z - 1);
}
int P(T *x, int v)
{
    if(!x) return -1e9;
    if(v <= x->v) return P(x->l, v);
    else return max(x->v, P(x->r, v));
}
int N(T *x, int v)
{
    if(!x) return 1e9;
    if(v >= x->v) return N(x->r, v);
    else return min(x->v, N(x->l, v));
}

完整代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
int max(int a, int b) {return a > b ? a : b;}
int min(int a, int b) {return a < b ? a : b;}
struct T
{
    T *l, *r;int v, k, s;
    T(int _v) : l(0), r(0), v(_v), k(rand()), s(1) {}
    void p() {s = 1;if(l) s += l -> s;if(r) s += r -> s;}
}*r;
void S(T *x, int k, T *&a, T *&b)
{
    if(!x) {a = b = 0;return;}
    if(x->v > k) b = x, S(x->l, k, a, b->l), b->p();
    else a = x, S(x->r, k, a->r, b), a->p();
}
T *M(T *a, T *b)
{
    if(!a) return b;if(!b) return a;
    if(a->k < b->k) {a->r = M(a->r, b);a->p();return a;}
    else {b->l = M(a, b->l);b->p();return b;}
}
void I(int v) {T *a, *b;S(r, v, a, b);r = M(a, M(new T(v), b));}
void D(int v) {T *a, *b, *c;S(r, v, a, c);S(a, v - 1, a, b);r = M(a, M(b->l, M(b->r, c)));delete b;}
int R(int v) {T *a, *b;int s;S(r, v - 1, a, b);s = (a ? a->s : 0) + 1;r = M(a, b);return s;}
int K(T *x, int v)
{
    int z = x->l ? x->l->s : 0;if(v == z + 1) return x->v;
    if(v <= z) return K(x->l, v);else return K(x->r, v - z - 1);
}
int P(T *x, int v)
{
    if(!x) return -1e9;
    if(v <= x->v) return P(x->l, v);
    else return max(x->v, P(x->r, v));
}
int N(T *x, int v)
{
    if(!x) return 1e9;
    if(v >= x->v) return N(x->r, v);
    else return min(x->v, N(x->l, v));
}
int main()
{
    srand(388651);int n, o, v;scanf("%d", &n);
    while(n--)
    {
        scanf("%d%d", &o, &v);
        switch(o)
        {
            case 1: I(v);break;
            case 2: D(v);break;
            case 3: printf("%d\n", R(v));break;
            case 4: printf("%d\n", K(r, v));break;
            case 5: printf("%d\n", P(r, v));break;
            case 6: printf("%d\n", N(r, v));break;
        }
    }
    return 0;
}

格式化的：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
int max(int a, int b) { return a > b ? a : b; }
int min(int a, int b) { return a < b ? a : b; }
struct T
{
    T *l, *r;
    int v, k, s;
    T(int _v) : l(0), r(0), v(_v), k(rand()), s(1) {}
    void p()
    {
        s = 1;
        if (l)
            s += l->s;
        if (r)
            s += r->s;
    }
} * r;
void S(T *x, int k, T *&a, T *&b)
{
    if (!x)
    {
        a = b = 0;
        return;
    }
    if (x->v > k)
        b = x, S(x->l, k, a, b->l), b->p();
    else
        a = x, S(x->r, k, a->r, b), a->p();
}
T *M(T *a, T *b)
{
    if (!a)
        return b;
    if (!b)
        return a;
    if (a->k < b->k)
    {
        a->r = M(a->r, b);
        a->p();
        return a;
    }
    else
    {
        b->l = M(a, b->l);
        b->p();
        return b;
    }
}
void I(int v)
{
    T *a, *b;
    S(r, v, a, b);
    r = M(a, M(new T(v), b));
}
void D(int v)
{
    T *a, *b, *c;
    S(r, v, a, c);
    S(a, v - 1, a, b);
    r = M(a, M(b->l, M(b->r, c)));
    delete b;
}
int R(int v)
{
    T *a, *b;
    int s;
    S(r, v - 1, a, b);
    s = (a ? a->s : 0) + 1;
    r = M(a, b);
    return s;
}
int K(T *x, int v)
{
    int z = x->l ? x->l->s : 0;
    if (v == z + 1)
        return x->v;
    if (v <= z)
        return K(x->l, v);
    else
        return K(x->r, v - z - 1);
}
int P(T *x, int v)
{
    if (!x)
        return -1e9;
    if (v <= x->v)
        return P(x->l, v);
    else
        return max(x->v, P(x->r, v));
}
int N(T *x, int v)
{
    if (!x)
        return 1e9;
    if (v >= x->v)
        return N(x->r, v);
    else
        return min(x->v, N(x->l, v));
}
int main()
{
    srand(388651);
    int n, o, v;
    scanf("%d", &n);
    while (n--)
    {
        scanf("%d%d", &o, &v);
        switch (o)
        {
        case 1:
            I(v);
            break;
        case 2:
            D(v);
            break;
        case 3:
            printf("%d\n", R(v));
            break;
        case 4:
            printf("%d\n", K(r, v));
            break;
        case 5:
            printf("%d\n", P(r, v));
            break;
        case 6:
            printf("%d\n", N(r, v));
            break;
        }
    }
    return 0;
}