P8444 不等价交换法则 题解

思路

一个结论：用钱买的那件商品要尽量贵。显然。

另一个结论：交换只会进行一次。

简单证明：如有交换过程 $A\to B\to C$，则有 $\sum _{a\in A}a\ge \sum _{b\in B}b\ge \sum _{c\in C}c$，

因为 $\sum _{a\in A}a\ge \sum _{c\in C}c$，所以 $A\to B\to C$ 可以转化为 $A\to C$。

第一步，选择用钱买的那件商品，即求 $k=\underset{a_i\le w}{max}{a}_i$，先排序，然后 $O(n)$ 暴力找或者二分都可以。

第二步，进行一次交换，贪心选择最便宜的商品，保证所选商品总价不超过第一步的 $k$ 即可。

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n, w, q, a[1000050];
int main()
{
    scanf("%d", &n);for(int i = 0;i < n;++i) scanf("%d", a + i);
    scanf("%d", &w);sort(a, a + n);w = *(upper_bound(a, a + n, w) - 1);
    for(int i = 0;i < n;++i) if(w >= a[i]) w -= a[i], ++q;
    return printf("%d", q), 0;
}