P8443 gcd. 题解

题意：求 $\underset{i=l}{\overset{r}{gcd}}\lfloor {\displaystyle \frac{i}{x}}\rfloor$，$1\le x\le l\le r\le {10}^{18}$。

Subtask 1

特殊条件：$x=1$，问题转化为求 $\underset{i=l}{\overset{r}{gcd}}i$。

• $l=r$，$\underset{i=l}{\overset{r}{gcd}}i=l=r$，显然。（然而并没有 $x=1\bigwedge l=r$ 的数据）

• $l\ne r$，因为 $gcd(n,n+1)=1$，所以 $\underset{i=l}{\overset{r}{gcd}}i=1$。

Subtask 2

特殊条件：$l=r$。$\underset{i=l}{\overset{r}{gcd}}\lfloor {\displaystyle \frac{i}{x}}\rfloor =\lfloor {\displaystyle \frac{l}{x}}\rfloor =\lfloor {\displaystyle \frac{r}{x}}\rfloor$，显然。

Subtask 3

特殊条件：$r-l\le {10}^5$。$O(r-l)$ 暴力模拟即可。

Subtask 4

因为 $gcd(n,n)=n$，所以可以把 $\{\lfloor {\displaystyle \frac{i}{x}}\rfloor |l\le i\le r\}$ 去重后再扔进 $gcd$ 里算。

容易发现 $\{\lfloor {\displaystyle \frac{i}{x}}\rfloor |l\le i\le r\}$ 去重后是一个连续正整数段，问题转化为求 $\underset{i=\lfloor \frac{l}{x}\rfloor }{\overset{\lfloor \frac{r}{x}\rfloor }{gcd}}i$。

然后就变成 Subtask 1 了。

Code

#include <cstdio>
int T;long long l, r, x;
int main()
{
    scanf("%d", &T);while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld", &l, &r, &x);l /= x;r /= x;
        if(l == r) printf("%lld\n", l);else puts("1");
    }
    return 0;
}