P8446 虹色的北斗七星 题解

题意：给定 $\{a_n\}$，找出一个区间，使得其极差减长度最大。

Subtask 1

特殊性质：$n\le 5\times {10}^3$。$O(n^2)$ 枚举 $l,r$ 即可。

Subtask 2

特殊性质：所有的 $a_i$ 都相等。注意到所有区间的极差都是 $0$，最小区间长度为 $1$，输出 $-1$ 即可。

Subtask 3

不难发现，所求区间的两个边界一定对应两个最值。

证明：考虑反证法，设最优区间的一个边界不是最值。

将这个边界位置删除后，区间极差不变，长度 $-1$，得到了更优的区间，假设不成立。

分类讨论左右边界 $l,r$ 对应的最值。

• $a_l=\underset{{}_i=l}{\overset{r}{min}}{a}_i,a_r=\underset{i=l}{\overset{r}{max}}{a}_i$ 时 $\underset{i=l}{\overset{r}{max}}{a}_i-\underset{{}_i=l}{\overset{r}{min}}{a}_i-r+l-1=(a_r-r)-(a_l-l)-1$。

• $a_l=\underset{i=l}{\overset{r}{max}}{a}_i,a_r=\underset{{}_i=l}{\overset{r}{min}}{a}_i$ 时 $\underset{i=l}{\overset{r}{max}}{a}_i-\underset{{}_i=l}{\overset{r}{min}}{a}_i-r+l-1=(a_l+l)-(a_r+r)-1$。

问题转化为两个子问题：

• 找出 $l,r$，使得 $1\le l\le r\le n$ 且 $(a_r-r)-(a_l-l)-1$ 最大。
• 找出 $l,r$，使得 $1\le l\le r\le n$ 且 $(a_l+l)-(a_r+r)-1$ 最大。

原问题结果为两个子问题结果的最大值。

对于子问题一，枚举 $r$，维护前缀最小值 $x=\underset{i=1}{\overset{r}{min}}\{a_i-i\}$，用 $(a_r-r)-x-1$ 更新答案。

对于子问题二，枚举 $r$，维护前缀最大值 $y=\underset{i=1}{\overset{r}{max}}\{a_i+i\}$，用 $y-(a_r+r)-1$ 更新答案。

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n, x = 1e9, y = -1e9, q = -1e9;
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1, a, b, c;i <= n;++i)
    {
        scanf("%d", &a);
        x = min(x, b = a - i);y = max(y, c = a + i);
        q = max(q, b - x - 1);q = max(q, y - c - 1);
    }
    return printf("%d", q), 0;
}