P5550 Chino的数列 题解

提供一个只需要推一个转移矩阵的做法。

思路

$n$ 很小，$k$ 很大，考虑矩阵加速递推。为了方便叙述，下文默认 $n=4,s=1,m=2$。

设 $\{a_n\}$ 经过一组操作后变为 $\{b_n\}$。定义转移矩阵 $P$，使得 $\left[\begin{array}{c}{a}_1\cdots a_n\end{array}\right]\times P=\left[\begin{array}{c}{b}_1\cdots b_n\end{array}\right]$。

如果只有平移操作，转移矩阵很显然：

$$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

如果先平移再交换，交换第 $s$ 列与第 $m$ 列即可：

$$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

考虑把先交换再平移转换为先平移再交换。

记 $s^{\prime },m^{\prime }$ 为 $s,m$ 向前平移后的位置，则 $s^{\prime }=(s+n-2)modn+1,m^{\prime }=(m+n-2)modn+1$。

容易发现，交换第 $s^{\prime }$ 列与第 $m^{\prime }$ 列即可。

$n=4,s=1,m=2$ 时，$s^{\prime }=4,m^{\prime }=1$，转移矩阵为：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define F(x) for(int x = 1;x <= n;++x)
int n, s, m;long long k;
struct S
{
    long long a[100][100];S() {memset(a, 0, sizeof a);}S operator*(S b)
    {S c;F(k) F(i) F(j) c.a[i][j] += a[i][k] * b.a[k][j];return c;}
}p, q;
int main()
{
    scanf("%d%d%d%lld", &n, &s, &m, &k);
    s = (s + n - 2) % n + 1;m = (m + n - 2) % n + 1;
    for(int i = 1;i <= n;++i)
    {
        scanf("%lld", &q.a[1][i]);if(i == s) p.a[m % n + 1][i] = 1;
        else if(i == m) p.a[s % n + 1][i] = 1;else p.a[i % n + 1][i] = 1;
    }
    for(;k;k >>= 1, p = p * p) if(k & 1) q = q * p;
    for(int i = 1;i <= n;++i) printf("%lld ", q.a[1][i]);return 0;
}