P8602 [蓝桥杯 2013 省 A] 大臣的旅费 题解

来点板子题复健一下。

考虑连续走 $x$ 千米的花费，不难发现是 $10x+\sum _{i=1}^{x}i={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{21}{2}}x$。

然后这玩意对称轴在 $-{\displaystyle \frac{21}{2}}$，显然 $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{21}{2}}x$ 在 $\mathbf{N}$ 上单调递增，所以要最大化 $x$。

或者说你也可以一眼看出来这个题是求树的直径。用树上 DP 来做。

维护 $x$ 子树内点到 $x$ 距离的最大值 $a_x$ 和次大值 $b_x$，然后 $\underset{i=1}{\overset{n}{max}}{a}_i+b_i$ 就是直径长度。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct E{int v, w, t;}e[200050];
int n, u, v, w, c, h[100050];long long q, a[100050], b[100050];
void A(int u, int v, int w) {e[++c] = {v, w, h[u]};h[u] = c;}
void D(int u, int k)
{
    for(int i = h[u], v, x;i;i = e[i].t) if((v = e[i].v) != k)
    {
        D(v, u);if((x = a[v] + e[i].w) > a[u]) b[u] = a[u], a[u]
        = x;else if(x > b[u]) b[u] = x;q = max(q, a[u] + b[u]);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);for(int i = 1;i < n;++i)
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w), A(u, v, w), A(v, u, w);
    return D(1, 0), printf("%d", q * (q + 21) / 2), 0;
}