SP11469 SUBSET - Balanced Cow Subsets 题解

Meet in the middle。

设选出的两个集合为 $A,B$，$Q=\{A\cup B|\sum\limits_{a\in A}a=\sum\limits_{b\in B}b\}$，容易发现 $|Q|$ 即为所求。

考虑把原序列分成 $X,Y$ 两半。

$$ \begin{aligned} \sum\limits_{a\in A}a&=\sum\limits_{b\in B}b\\ \sum\limits_{a\in A\cap X}a+\sum\limits_{a\in A\cap Y}a&=\sum\limits_{b\in B\cap X}b+\sum\limits_{b\in B\cap Y}b\\ \sum\limits_{a\in A\cap X}a-\sum\limits_{b\in B\cap X}b&=\sum\limits_{b\in B\cap Y}b-\sum\limits_{a\in A\cap Y}a \end{aligned} $$

所以

$$ \begin{aligned} Q&=\{A\cup B|\sum\limits_{a\in A}a=\sum\limits_{b\in B}b\}|\\ &=\{[(A\cup B)\cap X]\cup[(A\cup B)\cap Y]|\sum\limits_{a\in A\cap X}a-\sum\limits_{b\in B\cap X}b=\sum\limits_{b\in B\cap Y}b-\sum\limits_{a\in A\cap Y}a\} \end{aligned} $$

对 $X$ 爆搜出所有 $A\cap X,B\cap X$，记录每个 $\sum\limits_{a\in A\cap X}a-\sum\limits_{b\in B\cap X}b$ 对应的 $(A\cup B)\cap X$。

对 $Y$ 爆搜出所有 $A\cap Y,B\cap Y$，将所有等于 $\sum\limits_{b\in B\cap Y}b-\sum\limits_{a\in A\cap Y}a$ 的 $\sum\limits_{a\in A\cap X}a-\sum\limits_{b\in B\cap X}b$ 的记录的 $(A\cup B)\cap X$ 与此时的 $(A\cup B)\cap Y$ 之并加入 $Q$。

状态压缩一下，用哈希表 + vector 维护之。

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
using namespace std;
int n, m, c, q, a[25];bool v[1048576];
__gnu_pbds::gp_hash_table<int, vector<int> > g;
void F(int x, int s, int S)
{
    if(x >= m) {g[s].push_back(S);return;}
    F(x + 1, s, S);F(x + 1, s + a[x], S | 1 << x);F(x + 1, s - a[x], S | 1 << x);
}
void G(int x, int s, int S)
{
    if(x >= n) {for(auto T : g[s]) v[S | T] = 1;return;}
    G(x + 1, s, S);G(x + 1, s + a[x], S | 1 << x);G(x + 1, s - a[x], S | 1 << x);
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);m = n >> 1;for(int i = 0;i < n;++i) scanf("%d", a + i);
    F(0, 0, 0);G(m, 0, 0);for(int i = 1;i < 1 << n;++i) q += v[i];return !printf("%d", q);
}