P4028 New Product 题解

题意：求 $A^x\equiv B(\mathrm{mod}P)$ 的最小正整数解。

BSGS 板子。

由欧拉定理 $a^b\equiv a^{bmod\phi (p)}(\mathrm{mod}p)$ 可知，$a^x$ 有周期 $\phi (p)=p-1$，即原方程在 $[1,p)$ 上一定有解。

构造 $x=i\lceil \sqrt{p}\rceil -j|i,j\in [1,\lceil \sqrt{p}\rceil ]$，容易发现 $x$ 可以取遍 $[1,p)$，则

$$\begin{array}{rl}{A}^{i\lceil \sqrt{p}\rceil -j}& \equiv B(\mathrm{mod}P)\\ A^{i\lceil \sqrt{p}\rceil }& \equiv B^j(\mathrm{mod}P)\end{array}$$

枚举 $B^j$ 存到哈希表里，枚举 $A^{i\lceil \sqrt{p}\rceil }$ 在哈希表中查询即可。

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <unordered_map>
using namespace std;
int T, M, a, b, q;int Q(int x, int y)
{
    int z = ceil(sqrt(M));long long B = y, T = 1;unordered_map<int, int> H;
    for(int i = 1;i <= z;++i) H[B = B * x % M] = i;for(int i = B = 1;i <= z;++i) B = B * x % M;
    for(int i = 1;i <= z;++i) if(H[T = T * B % M]) return i * z - H[T];return -1;
}
int main()
{
    scanf("%d", &T);while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d", &M, &a, &b);
        if(!(a % M) || b >= M) puts("Couldn't Produce!");
        else if(~(q = Q(a, b))) printf("%d\n", q);
        else puts("Couldn't Produce!");
    }
    return 0;
}