AT_abc282_h [ABC282Ex] Min + Sum 题解

按最小值分治。

考虑统计 $l,r$ 内跨过最小值位置 $m$ 的满足条件的区间个数。

遍历 $[l,m],[m,r]$ 中较小的一个区间。设 $s_i=\sum\limits_{j=1}^i b_j$。

• $m-l\le r-m$：遍历左端点 $i\in[l,m]$，则右端点 $j\in[m,r]$ 满足 $a_m+\sum\limits_{x=i}^jb_x=a_m+s_j-s_{i-1}\le S$，即 $s_j\le S+s_{i-1}-a_m$。

二分最大的 $j_0$，则 $j\in[m,j_0]$ 都满足条件，答案加上 $j_0-m+1$。

• $m-l>r-m$：遍历右端点 $i\in[m,r]$，则左端点 $j\in[l,m]$ 满足 $a_m+\sum\limits_{x=j}^ib_x=a_m+s_i-s_{j-1}\le S$，即 $s_{j-1}\ge s_i+a_m-S$。

二分最小的 $j_0$，则 $j\in[j_0,m]$ 都满足条件，答案加上 $m-j_0+1$。

总复杂度 $O(n\log^2n)$。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n;
long long s, q, a[200050], b[200050], f[20][200050];
long long Q(int l, int r)
{
    int k = __lg(r - l + 1);
    return a[f[k][l]] < a[f[k][r - (1 << k) + 1]] ? f[k][l] : f[k][r - (1 << k) + 1];
}
void F(int l, int r)
{
    if (l > r)
        return;
    int m = Q(l, r);
    if (m - l <= r - m)
        for (int i = l, j; i <= m; ++i)
        {
            j = upper_bound(b + 1, b + r + 1, s + b[i - 1] - a[m]) - b - 1;
            if (j >= m)
                q += j - m + 1;
        }
    else
        for (int i = m, j; i <= r; ++i)
        {
            j = lower_bound(b + l - 1, b + n + 1, b[i] + a[m] - s) - b + 1;
            if (j <= m)
                q += m - j + 1;
        }
    F(l, m - 1);
    F(m + 1, r);
}
int main()
{
    scanf("%d%lld", &n, &s);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%lld", a + i), f[0][i] = i;
    for (int i = 1; 1 << i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; ++j)
            f[i][j] = a[f[i - 1][j]] < a[f[i - 1][j + (1 << i - 1)]] ? f[i - 1][j] : f[i - 1][j + (1 << i - 1)];
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", b + i), b[i] += b[i - 1];
    F(1, n);
    printf("%lld", q);
    return 0;
}