第一次

我觉得比给的题解清晰。

A

设 $f_{x,y}$ 表示选 $x$ 个数，乘积模 $mod$ 等于 $y$ 的方案数，则有$f_{a+b,i}=\sum _{j\times kmodmod=i}{f}_{a,j}\times f_{b,k}$，我们记为 $f_{a+b}=f_a\oplus f_b$。

则 $f_{2^i}=f_{2^{i-1}}\oplus f_{2^{i-1}}$ 都可以处理出来，设 $m=\sum _i{2}^i$，则 $f_m=\underset{i}{⨁}{f}_{2^i}$。

则答案为 ${\displaystyle \frac{\sum x}{n^m}}={\displaystyle \frac{\sum _{i=0}^{k}i{f}_{m,i}}{n^m}}$。

B

$t=0$

换根 DP 板子，没啥好说的吧……

设 $s_x=\sum _{i\in \text{subtree}(x)}{a}_i,f_x=\sum _{i\in \text{subtree}(x)}{a}_{i}d(x,i)$，则 $s_u=a_u+\sum _{v\in \text{son}(u)}{s}_v,f_u=\sum _{v\in \text{son}(u)}{f}_v+s_v$。

设 $S=\sum _{i=1}^n{a}_i,g_x=\sum _{i=1}^n{a}_{i}d(x,i)$，则$g_u=f_u+g_{f{a}_u}-f_u-s_u+S-s_u=g_{f{a}_u}+S-2s_u$。

则 $b=g$。

$t=1$

我们知道 $g_u-g_{f{a}_u}=g_{f{a}_u}+S-2s_u-g_{f{a}_u}=S-2s_u$，即 $2s_u=S-g_u+g_{f{a}_u}$。

我们还知道 $b_1=\sum _{i=2}^n{s}_i$，则 $2b_1=\sum _{i=2}^{n}2s_i=\sum _{i=2}^{n}S-g_i+g_{f{a}_i}=(n-1)S+\sum _{i=2}^n{g}_{f{a}_i}-g_i$，

即 $S={\displaystyle \frac{2b_1-\sum _{i=2}^n{g}_{f{a}_i}-g_i}{n-1}}$，进而 $s_u={\displaystyle \frac{S-g_u+g_{f{a}_u}}{2}}$。

则 $a_u=s_u-\sum _{v\in \text{son}(x)}{s}_v$。

C

$typ=0$

枚举向左走的步数 $i$，则向右走的步数等于 $i$，向上走的步数和向下走的步数等于 ${\displaystyle \frac{n-2i}{2}}$，

则向左走 $i$ 步的方案数为 ${\displaystyle \frac{n!}{(i!{)}^2({\displaystyle \frac{n-2i}{2}}!{)}^2}}$，答案即为 $\sum _{i=0}^{\frac{n}{2}}{\displaystyle \frac{n!}{(i!{)}^2({\displaystyle \frac{n-2i}{2}}!{)}^2}}$。

$typ=1$

把向右走看成入栈，把向左走看成出栈，答案即为长度为 ${\displaystyle \frac{n}{2}}$ 的出栈序列种类数，即 $C_{\frac{n}{2}}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}-1})$。

$typ=2$

这一档可以直接 DP 的……设 $f_{i,j,k}$ 表示走 $i$ 步到 $(j,k)$ 的方案数，然后把第一维滚掉就行。

另一种做法是设 $f_i$ 表示走 $i$ 步回到原点的方案数，枚举第一次回原点时走过的步数 $j$，则 $f_i=\sum _{j=2}^i[jmod2=0]C_{\frac{j}{2}-1}\times f_{i-j}$。

前 $j$ 步中不能走回原点，所以前 $j$ 步有 $C_{\frac{j}{2}-1}$ 种方案，后 $i-j$ 步有 $f_{i-j}$ 种方案。

$typ=3$

枚举横向走的步数 $i$，则纵向走的步数为 $n-i$，方案数为 $\sum _{i=0}^n[imod2=0](\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})C_{\frac{i}{2}}{C}_{\frac{n-i}{2}}$。

D

设 $f_{i,j,k}$ 表示填了 $[1,i]$，有 $j$ 段缺口，相邻 $max$ 之和为 $k$ 的方案数。

考虑把 $i+1$ 填进去：

• 填补一段缺口（eg：$102\to 132$），有 $j$ 种填法，转移到 $f_{i+1,j-1,k+2(i+1)}$。
• 填到缺口两侧（eg：$1002\to 1302$，$1002\to 1032$），有 $2j$ 种填法，转移到 $f_{i+1,j,k+i+1}$。
• 填到缺口中间（eg：$10002\to 10302$），有 $j$ 种填法，转移到 $f_{i+1,j+1,k}$。
• 填到两侧（不形成缺口）（eg：$0012\to 0312$，$1200\to 1230$），有 $2$ 种填法，转移到 $f_{i+1,j,k+i+1}$。
• 填到两侧（形成缺口）（eg：$0012\to 3012,1200\to 1203$），有 $2$ 种填法，转移到 $f_{i+1,j+1,k}$。