第二次 AB

如何评价 CSP 模拟赛两道黑题

A

注意到 $x\in \{a_1\oplus b_i|1\le i\le n\}$，即 $x$ 只可能在这 $n$ 个数中取值。

考虑怎么检查一个数 $p$ 是否是可能的 $x$。若 $\{a_i\oplus p\}$ 可重排为 $\{b_n\}$，则 $p$ 是可能的 $x$。

$O(n)$ 地检查每个 $p\in \{a_1\oplus b_i|1\le i\le n\}$ 是否是可能的 $x$，总复杂度 $O(n^2)$。

B

钦定 $\mathtt{\text{R}}=0,\mathtt{\text{G}}=1,\mathtt{\text{Y}}=2$。

设 $f_{i,j,k,o}$ 表示在答案序列的前 $i+j+k$ 位中填了 $i$ 个 $0$、$j$ 个 $1$、$k$ 个 $2$ 且最后一位为 $o$ 时的最小交换次数。

以填一位 $0$，$f_{i,j,k,o}|o\ne 0$ 转移到 $f_{i+1,j,k,0}$ 为例，考虑增加的交换次数，即新增的一位与原序列上这一位之前的位置产生的逆序对数。

前 $i$ 个 $0$ 都填到了这个 $0$ 的前面，所以这个 $0$ 不会与前面的 $0$ 产生逆序对。

设原序列上，这个 $0$（第 $i+1$ 个 $0$）前有 $p$ 个 $1$。

• 若 $j<p$，则其中 $j$ 个 $1$ 填在这个 $0$ 前面，剩下 $p-j$ 个 $1$ 只能填在这个 $0$ 后面，产生 $p-j$ 个逆序对。
• 若 $j\ge p$，则全部 $p$ 个 $1$ 都填在这个 $0$ 前面，不会产生新的逆序对。

设原序列上，这个 $0$（第 $i+1$ 个 $0$）前有 $q$ 个 $2$。

• 若 $k<q$，则其中 $k$ 个 $2$ 填在这个 $0$ 前面，剩下 $q-k$ 个 $2$ 只能填在这个 $0$ 后面，产生 $q-k$ 个逆序对。
• 若 $k\ge q$，则全部 $q$ 个 $2$ 都填在这个 $0$ 前面，不会产生新的逆序对。

预处理 $w_{i,j}$ 表示第 $j$ 个 $i$ 的位置，$u_{i,j}$ 表示 $a_{[1,i]}$ 中 $j$ 的个数即可 $O(1)$ 转移。

C

一点不会。

D

说一下值域很小的做法吧……

预处理 $p_{j,i}=\underset{\underset{k=i-t}{\overset{i}{max}}{a}_k\ge j}{min}t$，即 $a_i$ 至少向左取几位最大值才能 $\ge j$，则 $p_{j,i}=\{\begin{array}{ll}0& j\le a_i\\ p_{j,i-1}+1& j>a_i\end{array}$。

则若 $\underset{j=i-t}{\overset{i}{max}}{a}_j=k$，则 $\mathrm{\forall }w\le k,p_{w,i}\le t$。则 $\sum _{i=l}^r\underset{j=i-t}{\overset{i}{max}}{a}_j=\sum _{w=1}^W\sum _{i=l}^r[p_{w,i}\le t]$。

证明：若 $\underset{j=i-t}{\overset{i}{max}}{a}_j=k$，则 $w\le k$ 时内层 $\sum$ 都会统计 $i$ 位置，总共统计 $k$ 次，而 $i$ 位置的贡献 $\underset{j=i-t}{\overset{i}{max}}{a}_j$ 恰好为 $k$。

主席树维护区间小于等于某数的数的个数，复杂度 $O(nW\log n)$。