第三次

警惕网站特性，512 及以上的空间限制都是假的

警惕 MO 势力入侵 OI

A

设 $f_{a,b,c,d}$ 表示从 $(a,b)$ 到 $(c,d)$ 的回文路径数，容易做到 $O(n^2{m}^2)$。

注意到只有 $d=n+m-a-b-c+2$ 的状态有用，所以第四维可以直接扔掉，复杂度 $O(n^{2}m)$。

B

阅读程序题。

手动模拟，考虑伪代码中的 Left（即当前要排序的区间中第一个数）：

• 若第一位为 $\text{nan}$，则伪代码中 A[i] < Left 恒不成立，那么第一位保持 $\text{nan}$ 不变，继续排 $[L+1,R]$。
• 若第一位为正整数，则伪代码中把 A[i] < Left 的位置放在第一位左侧，其余位置放在第一位右侧，

注意到 A[i] < Left 的位置都是正整数，所以直接把它们排好序放在左侧，继续排右侧的数即可。

综上，扫描序列，扫到 $\text{nan}$ 不管，扫到正整数就把小于它的，还没放的数从小到大放在它前面，容易做到 $O(n\log n)$。

C

MO 题。

若 $n$ 是奇数，加一个 $0$ 规约成偶数。

将 $a_i$ 从小到大排序，设 $d_i=a_{2i}-a_{2i-1}$，则有 $\sum d_i$ 为偶数，

把 $d_i$ 看成相邻两个 $a_i$ 在数轴上的距离，则有 $\sum d_i\le m-{\displaystyle \frac{n}{2}}<n$。

构造 $\{e_{\frac{n}{2}}\}$ 使得 $\sum d_i{e}_i=0$，则容易构造 $\sum a_i{c}_i=0$。

考虑规约问题，若 $max{d}_i\ne min{d}_i$，在 $d$ 中删除 $max{d}_i,min{d}_i$，加入 $max{d}_i-min{d}_i\ne 0$ 得到 $d^{\prime }$，

构造 $\{e_{|d^{\prime }|}^{\prime }\}$ 使得 $\sum d_i^{\prime }{e}_i^{\prime }=0$，则可以推出 $\{e_{|d|}\}$ 使得 $\sum d_i{e}_i=0$。

此时 $|d|$ 减少 $1$，而 $d$ 中总没有 $0$，所以 $\sum d_i$ 减少 $2min{d}_i\ge 2$，则总有 $\sum d_i$ 为小于 $2|d|$ 的偶数。

特别地，若 $max{d}_i=min{d}_i$，则 $|d|$ 一定为偶数，

（反证法：若 $|d|$ 为奇数，$d_i$ 全为奇数则不满足 $\sum d_i$ 为偶数，$d_i$ 全为偶数则不满足 $\sum d_i<2|d|$，因为 $2$ 是最小的正偶数）

所以此时交错构造 $1,-1$ 即可。

D

从网上贺一张图。

考虑操作 $[3,10]$，发现涉及到 $14,5,6,7,8,17$ 点。

观察规律，设 $l$ 往右上最远走到 $a$，则点 $a$，及 $a$ 到 $\mathrm{lca}(l,r)$ 的左儿子（不含）链上每个点的右兄弟（若存在）被涉及到。

$r$ 同理。树剖维护之。

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赛时点 $\sqrt{}\text{Submitted}$ 可以看自己最后一发成功的提交，502 Waiting 不属于成功的提交，可以根据这个在赛时判断某一发提交有没有 502。