第六次

CF 神秘题

A

考虑 $n$ 位置上的数 $a_n$，发现其与 $(a_n,n]$ 的数形成逆序对。

于是将 $a_n$ 与这些数依次交换，发现它们依次减一，且此时 $a_n=n$，于是规约成规模小 $1$ 的子问题。

B

令 $\cdots$ 表示任意 $01$ 串。

$x$ 是奇数，则 $x$ 形如 $1\cdots 1$。

把 $x$ 左移至 $\text{lowbit}$ 对齐原 $\text{highbit}$，得到 $y$ 形如 $1\cdots 1000\dots$。

$x\oplus y$ 得到 $z$ 形如 $1\cdots 0\cdots 1$。

把 $z$ 加上 $y$，此时 $z$ 形如 $1\cdots 01\cdots 1$。

把 $z$ 异或上 $2y$，此时 $z$ 形如 $11\cdots 1$。

把 $z$ 异或上 $x$，此时 $z$ 形如 $1000\dots$，这个 $1$ 在 $x$ 的 $\text{highbit}$ 左边一位。

用这个 $1$ 消去 $y$ 除其 $\text{lowbit}$ 外其他位，此时 $y$ 剩下的 $\text{lowbit}$ 就是 $x$ 的 $\text{highbit}$。

然后用此时的 $y$ 消去 $x$ 的 $\text{highbit}$，如此直到 $x=1$ 即可。

C

分治，设当前区间为 $[l,r]$，考虑跨过分治中点 $m=\lfloor {\displaystyle \frac{l+r}{2}}\rfloor$ 的满足条件的区间个数。

枚举区间左端点 $i\in [l,m]$，设右端点为 $j$，则对每个 $i$，总有 $p1,p2$ 满足：

• $\mathrm{\forall }j\in (m,p1]$，$[i,j]$ 的 $max,min$ 均落在 $[i,m]$ 中，

则若此时 $\text{popcount}(\underset{k=i}{\overset{m}{max}}{a}_k)=\text{popcount}(\underset{k=i}{\overset{m}{min}}{a}_k)$，则所有 $j\in (m,p1]$ 的 $[i,j]$ 均符合要求，否则均不负责要求。

• $\mathrm{\forall }j\in (p1,p2]$，$[i,j]$ 的 $max,min$ 一个落在 $[i,m]$ 中，一个落在 $(m,j]$ 中，

以 $min$ 落在 $[i,m]$ 中，$max$ 落在 $(m,j]$ 中为例，

问题变为统计 $(p1,p2]$ 中有多少 $j$ 满足 $\text{popcount}(\underset{k=m+1}{\overset{j}{max}}{a}_k)=\text{popcount}(\underset{k=i}{\overset{m}{min}}{a}_k)$，

直接开桶维护 $c_x$ 表示当前 $(p1,p2]$ 中有多少 $j$ 满足 $\text{popcount}(\underset{k=m+1}{\overset{j}{max}}{a}_k)=x$，更新 $p1,p2$ 时更新这个桶即可。

• $\mathrm{\forall }j\in (p2,r]$，$[i,j]$ 的 $max,min$ 均落在 $(m,j]$ 中，

问题变为统计 $(p2,r]$ 中有多少 $j$ 满足 $\text{popcount}(\underset{k=m+1}{\overset{j}{max}}{a}_k)=\text{popcount}(\underset{k=m+1}{\overset{j}{min}}{a}_k)$，

发现与 $i$ 无关，提前预处理 $e_x$ 表示 $(m,x]$ 中满足该条件的 $j$ 的个数。

然后倒序枚举 $i$，发现 $p1,p2$ 单调后移，双指针即可。

D

不会正解。

搜的时候保证每步合法，可以 $90$ 分。

发现此时根据剩余牌可以确定当前局面，记忆化一下可以过。