第七次 ABC

A

$\log \prod a_i=\sum \log a_i$，点权取对数转化成最大加和独立集，转移同时记一下真实乘积即可。

B

构造 $\lceil {\displaystyle \frac{n}{2}}\rceil$ 个序列，第 $i$ 个序列的第 $j$ 项为 $(2i-1)2^{j-1}$，

这些序列形如：

$$\begin{array}{rl}& 1,2,4,8,16,32\dots \\ & 3,6,12,24,48,96\dots \\ & 5,10,20,40,80,160\dots \\ & \dots \end{array}$$

第 $i$ 个序列的长度 $l_i$ 为第 $i$ 个序列中最后一个 $\le n$ 的数的位置。

问题转化为，在这些序列中选出 $m$ 个数，使得同一序列中相邻两项必有一选一不选。

对于 $l_i$ 为偶数的序列，其中选出的数的个数一定为 $\sum _{l_{i}mod2=0}{\displaystyle \frac{l_i}{2}}$，

而其中每个序列有两种选法，所以选出这 $\sum _{l_{i}mod2=0}{\displaystyle \frac{l_i}{2}}$ 个数的方案有 $2^{\sum [l_{i}mod2=0]}$ 种。

对于 $l_i$ 为奇数的序列，其中一定有 $m-\sum \lfloor {\displaystyle \frac{l_i}{2}}\rfloor$ 个序列选出 $\lceil {\displaystyle \frac{l_i}{2}}\rceil$ 个数，其余序列选出 $\lfloor {\displaystyle \frac{l_i}{2}}\rfloor$ 个数，

所以选出这些数的方案有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\sum [l_{i}mod2=1]}{m-\sum \lfloor \frac{l_i}{2}\rfloor })$ 种，总方案有 $2^{\sum [l_{i}mod2=0]}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\sum [l_{i}mod2=1]}{m-\sum \lfloor \frac{l_i}{2}\rfloor })$ 种。

需要统计 $\sum [l_{i}mod2=0],\sum [l_{i}mod2=1],\sum \lfloor {\displaystyle \frac{l_i}{2}}\rfloor$，枚举 $l_i$ 容易做到 $1\log$。

Lucas 定理算组合数即可。

C

根号分治 DP，这么稀有。

算出 $s_1\ge x$ 的序列个数，$s_1>y$ 的序列个数，相减得到答案。

问题变为给定 $x$，求把 $n$ 分解为若干 $\ge x$ 的数的方案数。

可以想到两个 DP：

• $f_{i,j}$ 表示只用 $[x,i]$ 的数凑出 $j$ 的方案数，发现就是一个完全背包。
• $g_{i,j}$ 表示用 $i$ 个 $\ge x$ 的数凑出 $j$ 的方案数，则有 $g_{i,j}=g_{i-1,j-x}+g_{i,j-i}$，

（$g_{i-1,j-x}$ 即为 $i-1$ 个数凑出 $j-x$ 的方案数，加一个 $x$ 即可用 $i$ 个数凑出 $j$，

$g_{i,j-i}$ 即为 $i$ 个数凑出 $j-i$ 的方案数，整体加一即可用 $i$ 个数凑出 $j$）

发现都是 $O(n^2)$ 的，所以定一个阈值 $B$，

规定 $f$ 只能用 $<B$ 的数转移，即 $f_{i,j}$ 中 $i<B$，

规定 $g$ 只能用 $\ge B$ 的数转移，即 $g_{i,j}$ 的定义中 $x$ 与 $B$ 取 $max$，

注意到用 $\ge B$ 的数凑出 $n$ 的方案一定用了 $\le {\displaystyle \frac{n}{B}}$ 个数，即 $g_{i,j}$ 中 $i\le {\displaystyle \frac{n}{B}}$。

枚举最终方案中 $<B$ 的数的和 $k$，则方案总数为 $\sum _{k=0}^n{f}_{B-1,k}\sum _{i=0}^{\frac{n}{B}}{g}_{i,n-k}$。

总复杂度 $O(nB+{\displaystyle \frac{n^2}{B}})$，取 $B=\sqrt{n}$ 达到最优 $O(n\sqrt{n})$。