第十九次

340 - 160 = 180

A

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^{n}f(i)\\ =& n+\sum _k\sum _{i=1}^n[f(i)>k]\\ =& n+\sum _k\sum _{i=1}^n[\mathrm{\forall }j\in [1,k],j|i]\\ =& n+\sum _k\sum _{i=1}^n[\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{lcm}}}j|i]\\ =& n+\sum _k\lfloor {\displaystyle \frac{n}{\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{lcm}}}j}}\rfloor \end{array}$$

$\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{lcm}}}j$ 增长很快，枚举 $k$ 即可。

B

操作顺序不影响结果，所以不妨设先操作了 $i$ 行，再操作了 $k-i$ 列，

则这 $k-i$ 列每列都比开始时少了 $i\times p$，此时分数为只操作这 $i$ 行的分数 $+$ 只操作这 $k-i$ 列的分数 $-(k-i)\times i\times p$。

预处理只操作行 $i$ 次的最大分数 $f_i$，只操作列 $i$ 次的最大分数 $g_i$，则答案为 $\underset{i=0}{\overset{k}{max}}{f}_i+g_{k-i}-(k-i)\times i\times p$。

注意答案可能很小，所以 $max$ 的初值要设小一些。

C

排序后序列的子序列唯一对应原序列的子序列排序后的结果，所以先排序。

设 $f_i$ 表示前 $i$ 位的子序列的美味值之和，则 $f_i=2f_{i-1}+a_i\sum _{j=1}^{i-1}{2}^{j-1}{a}_j$，容易做到单次线性。

考虑动态 DP，则有：

$$\left|\begin{array}{ccc}{f}_{i-1}& \sum _{j=1}^{i-1}{2}^{j-1}{a}_j& 2^{i-1}\end{array}\right|\times \left|\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ a_i& 1& 0\\ 0& a_i& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{f}_i& \sum _{j=1}^i{2}^{j-1}{a}_j& 2^i\end{array}\right|$$

每次单点修改相当于排序后序列上单点删除，单点插入，平衡树维护之。

注意初始序列要先排序，不能直接依次加入。

D

把 $\prod a_i^2$ 转化成组合意义，即在每段车程中放不同的两个球的方案数。

设 $f_{i,j}$ 表示考虑到第 $i$ 个点，最后一段车程放了 $j$ 个球，

若第 $i$ 个点开放，则：

$$\begin{array}{rl}& f_{i+1,0}=f_{i,0}+f_{i,2}\\ & f_{i+1,1}=2f_{i,0}+f_{i,1}+2f_{i,2}\\ & f_{i+1,2}=f_{i,0}+f_{i,1}+2f_{i,2}\end{array}$$

若第 $i$ 个点不开放，则：

$$\begin{array}{rl}& f_{i+1,0}=f_{i,0}\\ & f_{i+1,1}=2f_{i,0}+f_{i,1}\\ & f_{i+1,2}=f_{i,0}+f_{i,1}+f_{i,2}\end{array}$$

矩阵加速即可。

记得取模。