第二十五次

赛时降智

A

朴素 DP 显然，但精度会炸，所以取 $\log$ 变成加减。

B

令 $1$ 的性价比为 ${\displaystyle \frac{1}{x}}$，$a$ 的性价比为 ${\displaystyle \frac{a}{y}}$，$b$ 的性价比为 ${\displaystyle \frac{b}{z}}$。

$1$ 的性价比最高，第二高的情况平凡，钦定 ${\displaystyle \frac{a}{y}}\ge {\displaystyle \frac{b}{z}}\ge {\displaystyle \frac{1}{x}}$。

若 $a>\sqrt{n}$，则 $a$ 被选不超过 $\sqrt{n}$ 次，枚举 $a$ 被选的次数即可。

若 $a\le \sqrt{n}$，则 $b$ 被选不超过 $a$ 次，枚举 $b$ 被选的次数即可。

C

显然所有质因子集合相同的位置可以任意互换。

对于质数 $i,j$，若 $i$ 的倍数个数等于 $j$ 的倍数个数，则 $i$ 的倍数与 $j$ 的倍数可以整体互换。

注意 $1$ 可以与所有只有一个倍数的质数互换。

D

离线下来，DSU On Tree 维护出 $f_{i,j}|j\in {\text{son}}_i$ 表示 ${\text{subtree}}_i-{\text{subtree}}_j$ 中最早出现的黑点的出现时间，

则 $T$ 时刻询问 $v$ 点的答案即为 $\underset{u\in \{1\to v\},f_{f{a}_u,u}\le T}{max}{a}_{f{a}_u}$，把询问挂在点上，DFS 时动态地维护当前点到根的路径即可。