第二十四次

寄不如人，肝败吓疯。

A

先考虑咋交换两个数，然后分别处理每个环。

B

设 $s_u$ 表示 $u$ 子树大小，则点 $u$ 有 ${\displaystyle \frac{1}{s_u}}$ 概率被自己删去，

即点 $u$ 有 ${\displaystyle \frac{1}{s_u}}$ 概率被选，即点 $u$ 期望被选 ${\displaystyle \frac{1}{s_u}}$ 次，所以期望共选 $\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{1}{s_i}}$ 个点。

C

设 $c_i=\sum _{j=1}^n[a_j\ge i]-n+i$ 表示 $i$ 可选的位置数，

则符合要求的排列共有 $s=\prod _{i=1}^n{c}_i$ 种，若 $\mathrm{\exists }{c}_i=0$ 显然答案为 $0$。

考虑每对位置 $i,j|i<j$ 在多少排列中是逆序对。先考虑 $a_i\le a_j$ 的情况。

此时 $p_j<p_i\le a_i$，于是令 $a_j\leftarrow a_i$，发现此时 $i,j$ 是逆序对与顺序对的方案数相等，且 $\mathrm{\forall }k\in (a_i,a_j],c_k$ 减少 $1$，

所以此时 $i,j$ 在 ${\displaystyle \frac{S}{2}}\prod _{k=a_i+1}^{a_j}{\displaystyle \frac{c_k-1}{c_k}}$ 个排列中是逆序对。

考虑预处理 $d_i=\prod _{j=1}^i{\displaystyle \frac{c_j-1}{c_j}}$，则 ${\displaystyle \frac{S}{2}}\prod _{k=a_i+1}^{a_j}{\displaystyle \frac{c_k-1}{c_k}}={\displaystyle \frac{S{d}_{a_j}}{2d_{a_i}}}$ 吗？

实际上并不是，考虑 ${\displaystyle \frac{c_k-1}{c_k}}\ne 0$，而 $d_{a_i},d_{a_j}$ 中有 $0$ 的情况。

改变 $d_i$ 的定义为 $d_i=\prod _{j=1,c_j\ne 1}^i{\displaystyle \frac{c_j-1}{c_j}}$，设 $l_i$ 表示 $i$ 前第一个 $c_i=1$ 的位置，

考虑枚举 $j$，则 $j$ 的贡献为 ${\displaystyle \frac{S}{2}}\sum _{i=l_{a_j}}^{a_j}\prod _{k=i+1}^{a_j}{\displaystyle \frac{c_k-1}{c_k}}={\displaystyle \frac{S}{2}}\sum _{i=l_{a_j}}^{a_j}{\displaystyle \frac{d_{a_j}}{d_i}}$，此时保证了 $i\ge l_{a_j}$，所以式子成立。

$a$ 值为 $i$ 的位置要求在 $j$ 之前，所以树状数组维护。

$a_i>a_j$ 倒着做一遍。

D

考虑 $i$ 人仅当存在某人选择 $(a_i,b_i)$ 的位置时，可以选择 $b_i$，此时选法与排列唯一对应，问题变为统计符合条件的选法数。

设 $l_i$ 表示最小的 $j$ 使得 $b_j\ge a_i$，$r_i$ 表示最大的 $j$ 使得 $a_j\le b_i$，则 $i$ 人不符合条件时 $[l_i,r_i]$ 的人都可以确定选法，

于是两个 $[l,r]$ 有交集的人不可能同时不符合条件，则钦定 $S$ 中的人不符合条件，共有 $2^{n-\sum _{i\in S}{r}_i-l_i+1}$ 种选法，答案即为 $\sum _S(-1{)}^{|S|}{2}^{n-\sum _{i\in S}{r}_i-l_i+1}$。

设 $f_i=\sum _{\mathrm{\forall }j\in S,[l_j,r_j]\in [1,i]}(-1{)}^{|S|}{2}^{n-\sum _{i\in S}{r}_i-l_i+1}$，考虑加入 $r_j=i$ 的区间，则 $f_i=\sum _{r_x=i}(\sum _{j=0}^{l_x-1}-2^{-(r_x-l_x+1)}{f}_j)-2^{n-(r_x-l_x+1)}$。