第二十六次

A

朴素 DP。

B

线段树。

C

设 $f_i$ 表示只用第 $[i,n]$ 对 $\mathtt{\text{a,b}}$ 能组成的字典序最大串，考虑选不选第 $i$ 对 $\mathtt{\text{a,b}}$。

若不选第 $i$ 对 $\mathtt{\text{a,b}}$，能组成的字典序最大串为 $f_{i+1}$。

若选了第 $i$ 对 $\mathtt{\text{a,b}}$，分讨这对 $\mathtt{\text{a,b}}$ 的位置 $a_i,b_i$：

• 若 $a_i<b_i$，$(a_i,b_i)$ 间的 $\mathtt{\text{b}}$ 都不属于第 $[i,n]$ 对 $\mathtt{\text{a,b}}$，不能用，

为了保证字典序最大，$(a_i,b_i)$ 间的 $\mathtt{\text{a}}$ 也都不能用，

则能组成的字典序最大串为 $\mathtt{\text{ab}}+f_k$，其中 $k$ 为第一个完全在 $b_i$ 右侧的对的编号。

• 若 $a_i>b_i$，$(b_i,a_i)$ 间的 $\mathtt{\text{a}}$ 都不属于第 $[i,n]$ 对 $\mathtt{\text{a,b}}$，不能用，

为了保证字典序最大，$(b_i,a_i)$ 间的 $\mathtt{\text{b}}$ 都要用，

而选择这些 $\mathtt{\text{b}}$ 所在的 $(b_j,a_j)$ 后，$(b_j,a_j)$ 间的 $\mathtt{\text{b}}$ 也都要用，

所以一直往后扫到不需要用新的 $\mathtt{\text{b}}$ 为止，则能组成的字典序最大串为 $T+f_k$，

其中 $T$ 为扫描过程中选择的所有字符，$f_k$ 为第一个完全在停止位置右侧的对的编号。

D

设 $a_i=k-e(1,i)+1$，$c_i=\sum _{j=2}^n[a_j=i]$，则

$$\begin{array}{rl}& \sum _a\prod _{i<j}min(a_i,a_j)\\ =& \sum _c\prod _{i=1}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{\sum _{j=1}^i{c}_j}{c_i})i^{c_i(n-1-\sum _{j=1}^i{c}_j)+\frac{c_i(c_i-1)}{2}}\end{array}$$

考虑往后填 $c$，设 $f_{i,j}$ 表示填到第 $i$ 位，$\sum _{k=1}^i{c}_k=j$ 的所有 $c$ 的 $\prod _{i=1}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{\sum _{j=1}^i{c}_j}{c_i})i^{c_i(n-1-\sum _{j=1}^i{c}_j)+\frac{c_i(c_i-1)}{2}}$ 之和，

则有

$$f_{i,j}=\sum _{k=0}^j{f}_{i-1,j-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{k})i^{k(n-1-j)+\frac{k(k-1)}{2}}$$

。