第二十六次

A

朴素 DP。

B

线段树。

C

设 $f_i$ 表示只用第 $[i,n]$ 对 $\texttt{a,b}$ 能组成的字典序最大串，考虑选不选第 $i$ 对 $\texttt{a,b}$。

若不选第 $i$ 对 $\texttt{a,b}$，能组成的字典序最大串为 $f_{i+1}$。

若选了第 $i$ 对 $\texttt{a,b}$，分讨这对 $\texttt{a,b}$ 的位置 $a_i,b_i$：

• 若 $a_i<b_i$，$(a_i,b_i)$ 间的 $\texttt{b}$ 都不属于第 $[i,n]$ 对 $\texttt{a,b}$，不能用，

为了保证字典序最大，$(a_i,b_i)$ 间的 $\texttt{a}$ 也都不能用，

则能组成的字典序最大串为 $\texttt{ab}+f_k$，其中 $k$ 为第一个完全在 $b_i$ 右侧的对的编号。

• 若 $a_i>b_i$，$(b_i,a_i)$ 间的 $\texttt{a}$ 都不属于第 $[i,n]$ 对 $\texttt{a,b}$，不能用，

为了保证字典序最大，$(b_i,a_i)$ 间的 $\texttt{b}$ 都要用，

而选择这些 $\texttt{b}$ 所在的 $(b_j,a_j)$ 后，$(b_j,a_j)$ 间的 $\texttt{b}$ 也都要用，

所以一直往后扫到不需要用新的 $\texttt{b}$ 为止，则能组成的字典序最大串为 $T+f_k$，

其中 $T$ 为扫描过程中选择的所有字符，$f_k$ 为第一个完全在停止位置右侧的对的编号。

D

设 $a_i=k-e(1,i)+1$，$c_i=\sum\limits_{j=2}^n[a_j=i]$，则

$$ \begin{aligned} &\sum\limits_a\prod\limits_{i<j}\min(a_i,a_j)\\ =&\sum\limits_c\prod\limits_{i=1}^k{\sum\limits_{j=1}^ic_j\choose c_i}i^{c_i(n-1-\sum\limits_{j=1}^ic_j)+\frac{c_i(c_i-1)}2} \end{aligned} $$

考虑往后填 $c$，设 $f_{i,j}$ 表示填到第 $i$ 位，$\sum\limits_{k=1}^ic_k=j$ 的所有 $c$ 的 $\prod\limits_{i=1}^k{\sum\limits_{j=1}^ic_j\choose c_i}i^{c_i(n-1-\sum\limits_{j=1}^ic_j)+\frac{c_i(c_i-1)}2}$ 之和，

则有

$$ f_{i,j}=\sum\limits_{k=0}^jf_{i-1,j-k}{j\choose k}i^{k(n-1-j)+\frac{k(k-1)}2} $$

。