AT_agc061_c [AGC061C] First Come First Serve 题解

考虑 $i$ 人仅当存在某人选择 $(a_i,b_i)$ 的位置时，可以选择 $b_i$，此时选法与排列唯一对应，问题变为统计符合条件的选法数。

设 $l_i$ 表示最小的 $j$ 使得 $b_j\ge a_i$，$r_i$ 表示最大的 $j$ 使得 $a_j\le b_i$，则 $i$ 人不符合条件时 $[l_i,r_i]$ 的人都可以确定选法，

于是两个 $[l,r]$ 有交集的人不可能同时不符合条件，则钦定 $S$ 中的人不符合条件，共有 $2^{n-\sum _{i\in S}{r}_i-l_i+1}$ 种选法，答案即为 $\sum _S(-1{)}^{|S|}{2}^{n-\sum _{i\in S}{r}_i-l_i+1}$。

设 $f_i=\sum _{\mathrm{\forall }j\in S,[l_j,r_j]\in [1,i]}(-1{)}^{|S|}{2}^{n-\sum _{i\in S}{r}_i-l_i+1}$，考虑加入 $r_j=i$ 的区间，则 $f_i=\sum _{r_x=i}(\sum _{j=0}^{l_x-1}-2^{-(r_x-l_x+1)}{f}_j)-2^{n-(r_x-l_x+1)}$。

#include <cstdio>
#include <vector>
#define M 998244353
#define int long long
using namespace std;
int P(int x, int y)
{
    int q = 1;
    for (; y; y >>= 1, x = x * x % M)
        if (y & 1)
            q = q * x % M;
    return q;
}
vector<int> v[500050];
int n, a[500050], b[500050], l[500050], r[500050], f[500050];
signed main()
{
    scanf("%lld", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%lld%lld", a + i, b + i);
    for (int i = 1, p = 0; i <= n; ++i)
    {
        while (b[p + 1] < a[i])
            ++p;
        l[i] = p + 1;
    }
    for (int i = n, p = n + 1; i >= 1; --i)
    {
        while (a[p - 1] > b[i])
            --p;
        r[i] = p - 1;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        v[r[i]].push_back(l[i]);
    f[0] = P(2, n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (auto j : v[i])
            f[i] = (f[i] + M - P(P(2, i - j + 1), M - 2) * f[j - 1] % M) % M;
        f[i] = (f[i] + f[i - 1]) % M;
    }
    printf("%lld", f[n]);
    return 0;
}