CF1598F RBS 题解

$\mathtt{\text{(}}=-1,\mathtt{\text{)}}=1$。

考虑在当前和为 $s$ 的串 $a$ 后接上 $i$ 串，若 $a$ 的任意前缀和 $\ge 0$，则 $i$ 串中前缀和与前缀最小和均为 $-s$ 的位置可以形成 RBS 前缀，

预处理 $s_S$ 表示 $S$ 中的串的和，预处理 $p_i$ 表示 $i$ 串的前缀最小和，

预处理 $o_{i,j}$ 表示 $i$ 串中前缀和与前缀最小和均为 $j$ 的位置个数，

设 $f_{S,0/1}$ 表示填了 $S$ 中的串，填出的串任意前缀和是 / 否 $\ge 0$（是否还能往后接串），

考虑往后填 $i$ 串，则有转移：

$$\{\begin{array}{ll}{f}_{S\cup \{i\},1}\leftarrow max\{f_{S\cup \{i\},1},f_{S,1}+o_{i,-s_S}\}& s_S+p_i\ge 0\\ f_{S\cup \{i\},0}\leftarrow max\{f_{S\cup \{i\},0},f_{S,1}+o_{i,-s_S}\}& s_S+p_i<0\end{array}$$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
char a[400050];
int n, q, w[30], p[30], s[1 << 20], o[30][1000050], f[1 << 20][2];
int main()
{
    memset(f, 0xc0, sizeof f);
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0, m; i < n; ++i)
    {
        scanf("%s", a + 1);
        m = strlen(a + 1);
        p[i] = 1e9;
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            p[i] = min(p[i], w[i] += a[j] == '(' ? 1 : -1), o[i][w[i] + 400000] += w[i] == p[i];
        s[1 << i] = w[i];
    }
    f[0][0] = f[0][1] = 0;
    for (int S = 0; S < 1 << n; ++S)
    {
        s[S] = s[S & S - 1] + s[S & -S];
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            if (!(S & 1 << i))
            {
                if (s[S] + p[i] >= 0)
                    f[S | 1 << i][1] = max(f[S | 1 << i][1], f[S][1] + o[i][-s[S] + 400000]);
                else
                    f[S | 1 << i][0] = max(f[S | 1 << i][0], f[S][1] + o[i][-s[S] + 400000]);
            }
    }
    for (int S = 0; S < 1 << n; ++S)
        q = max({q, f[S][0], f[S][1]});
    printf("%d", q);
    return 0;
}