第二十九次

sto SoyTony orz

A

子树 $u$ 内重心一定在其重儿子子树内重心 $v$ 到 $u$ 的路径上，

于是每次从 $v$ 往上暴力跳找到子树 $u$ 内重心，注意到每条边最多被经过一次，所以复杂度线性。

B

枚举矩阵的列区间 $[l,r]$，拿出每行的这个区间形成序列 $\{s_n\}$，

定义 $s_i=s_j$，当且仅当它们可以重排为相同的串，

则问题变为求 $s$ 有多少回文子区间 $[x,y]$，满足其中每个串都可以重排为回文串。

预处理 $z_{i,j}$ 表示 $a_{i,[1,j]}$ 中出现奇数次的字符集合，则 $s_i$ 可以重排为回文串当且仅当 $|z_{i,r}\oplus z_{i,l-1}|\le 1$。

$\mathrm{\forall }c\in \mathrm{\Sigma }$ 赋随机权 $o_c$，预处理 $h_{i,j}=\sum _{k=1}^j{a}_{i,k}$，则 $s_i$ 与 $s_j$ 可以重排为相同的串当且仅当 $h_{i,r}-h_{i,l-1}=h_{j,r}-h_{j,l-1}$。

哈希二分统计回文子区间即可。

C

求出钦定这 $k$ 条边存在的最小生成树 $T$，此时若非树边 $u\stackrel{w}{\to }v$ 存在，则 $T$ 上 $u\to v$ 路径上每条边都应 $\le w$，

可并堆维护树链 check min 即可。

D

sto SoyTony orz

对行 $x<y<z$，列 $l<r$，从 $(x,l)$ 到 $(z,r)$ 有三种移动方式：

• $(x,l)\to (x,r)\to (y,r)$，代价 $(r-l)a_x+(z-x)b_r$。
• $(x,l)\to (z,l)\to (z,r)$，代价 $(z-x)b_l+(r-l)a_z$。
• $(x,l)\to (y,l)\to (y,r)\to (z,r)$，代价 $(y-x)b_l+(r-l)a_y+(z-y)b_r$。

考虑啥时候 $y$ 有用，第三种方案最优时有 ${\displaystyle \frac{a_y-a_x}{y-x}}<{\displaystyle \frac{b_r-b_l}{r-l}}<{\displaystyle \frac{a_z-a_y}{z-y}}$，即有用的 $a,b$ 斜率单调增，维护下凸壳。

考虑每次向下还是向右，向右更优时有 ${\displaystyle \frac{b_r-b_l}{r-l}}<{\displaystyle \frac{a_z-a_x}{z-x}}$，于是每次会选斜率较小的方向，维护两个指针扫描两个凸包即可。