第二十八次

高情商：题目未按难度排序，请自行决定开题顺序

低情商：都是紫题，自己看着办吧

A

设 $a_{i,0/1}$ 表示第 $i$ 层的两个门，$f_{i,0/1}$ 表示从起点走到第 $i$ 层的两个门的最短路，

则有 $f_{i,j}=\underset{k=0}{\overset{i}{min}}{f}_{i-1,k}+d(a_{i-1,k},a_{i,j})$，其中 $d(a_{i-1,k},a_{i,j})$ 表示 $a_{i-1,k}$ 到 $a_{i,j}$ 的最短路，这个容易 $O(1)$ 求出。

每次 $O(n)$ 地跑一遍 DP 复杂度太高，考虑动态 DP，则有

$$\left[\begin{array}{cc}{f}_{i-1,0}& f_{i-1,1}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}d(a_{i-1,0},a_{i,0})& d(a_{i-1,0},a_{i,1})\\ d(a_{i-1,1},a_{i,0})& d(a_{i-1,1},a_{i,1})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{f}_{i,0}& f_{i,1}\end{array}\right]$$

$\times$ 是 $(min,+)$ 矩乘，线段树维护区间矩阵乘积即可。

B

设 $f_i$ 表示第 $i$ 块玻璃向下发出的光，$g_i$ 表示第 $i$ 块玻璃向上发出的光，

则有 $f_i=a_i{f}_{i-1}+b_i{g}_{i+1},g_i=b_i{f}_{i-1}+a_i{g}_{i+1}$，

设 $\mathrm{\Delta }{f}_i={\displaystyle \frac{f_i}{f_{i-1}}},\mathrm{\Delta }{g}_i={\displaystyle \frac{g_i}{f_{i-1}}}$，则有 $\mathrm{\Delta }{f}_i=a_i+{\displaystyle \frac{b_i{g}_{i+1}}{f_{i-1}}}=a_i+{\displaystyle \frac{b_i\mathrm{\Delta }{g}_{i+1}{f}_i}{f_{i-1}}}=a_i+b_i\mathrm{\Delta }{g}_{i+1}\mathrm{\Delta }{f}_i$，即 $f_i={\displaystyle \frac{a_i}{1-b_i\mathrm{\Delta }{g}_{i+1}}}$，

且有 $\mathrm{\Delta }{g}_i=b_i+{\displaystyle \frac{a_i{g}_{i+1}}{f_{i-1}}}={\displaystyle \frac{a_i\mathrm{\Delta }{g}_{i+1}{f}_i}{f_{i-1}}}=a_i\mathrm{\Delta }{g}_{i+1}\mathrm{\Delta }{f}_i$。

倒序递推 $\mathrm{\Delta }f,\mathrm{\Delta }g$ 即可。

C

发现得到的队列即为添加序列的前缀最大值序列，于是考虑怎样的前缀最大值序列 $s$ 是合法的，

考虑 $s$ 的每一位何时取到最小值，可以发现把原序列从小到大排序得到 $\{a_n\}$ 作为添加序列时，可以取到 $s_i=a_i$，

所以 $s$ 不降，且 $s_i\ge a_i$ 时 $s$ 合法。设 $f_{i,j}$ 表示 $s$ 填到第 $i$ 位，最后一位为 $j$ 的方案数，

则有 $f_{i,j}=\sum _{k=1}^j{f}_{i-1,k}|j\ge a_i$，前缀和优化即可。

D

答案即为放 $n$ 个互不攻击的车，阴影不能放的方案数。

设 $f_i$ 表示在阴影里放 $i$ 个车的方案数，

则钦定某 $i$ 个车放在阴影里，剩下随便放的方案数有 $f_i(n-i)!$ 种，

考虑容斥，则答案为 $\sum _{i=0}^n(-1{)}^i{f}_i(n-i)!$，问题变为算 $f$。

同行同列的车不能选，因此 $f_i$ 即上图大小为 $i$ 的独立集个数。

把这些链连起来，则 $f_i$ 即在连出的链上选 $i$ 个点，连接处可以相邻，其他位置不能相邻的方案数，容易 DP。