第三十加加加次+第三十一次

A

转移是线性的，所以答案一定可以表示为 $\sum _{i=1}^n{k}_{1,i}{a}^{x_{1,i}}{b}^{y_{1,i}}f(i,0)+\sum _{i=1}^m{k}_{2,i}{a}^{x_{2,i}}{b}^{y_{2,i}}f(0,i)$。

观察可知，$k_{1,i}$ 即 $f(i,0)$ 转移到 $f(n,m)$ 的路径条数，即 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m-i-1}{m-1})$，

而 $x_{1,i},y_{1,i}$ 即 $f(i,0)$ 转移到 $f(n,m)$ 往右、下走的步数，即 $m,n-i$。

$k_{2,i},x_{2,i},y_{2,i}$ 同理。

B

第 $i$ 个右部点连接第 $x_i,y_i$ 个左部点，则 $x_i,y_i$ 至少选择其一，

现有 $n$ 个这样的限制，需要选择若干个点来满足这些限制，要求选择的点代价和最小。

建新图，连接所有 $x_i,y_i$，要求相邻两点至少选择其一，问题变为基环树最小权点覆盖。

C

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n(-1{)}^{\sum _{j=1}^{m}d(ij)}\\ =& \sum _{i=1}^n(-1{)}^{\sum _{j=1}^m[d(ij)\equiv 1(\mathrm{mod}2)]}\\ =& \sum _{i=1}^n(-1{)}^{\sum _{j=1}^m[ij\in S]}\\ =& \sum _{i=1}^n(-1{)}^{\lfloor \sqrt{\frac{m}{p_i}}\rfloor }\end{array}$$

其中 $S$ 为完全平方数集，$p_i={\displaystyle \frac{i}{\underset{j|i,j\in S}{max}j}}=\underset{j|i,j\in S}{min}{\displaystyle \frac{i}{j}}$，

对每个 $j\in S$ 更新其倍数 $i$ 的 $p_i$，复杂度 $O(\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{n}{i^2}})=O(n)$。

D

考虑不是环咋做，容易单调栈求出。

考虑复制一份，断环成链，发现跨越中点的点对不好统计，

环可以任意平移，于是把最大值平移到首端，

此时跨越中点的点对一定不跨越后 $n$ 个数首端的这个最大值，

即跨越中点的点对在中点右侧的点一定是后 $n$ 个数首端的这个最大值，

于是统计有多少中点左侧的点能和这个最大值组成符合条件的点对，容易单调栈求出。

F

显然召开 party 的城市是这 $c$ 个人的 LCA。

考虑二分答案 $k$，从源点向这 $c$ 个人连流量为 $k$ 的边，从每个人向其能带的特产连流量为 $1$ 的边，从每种特产向汇点连流量为 $1$ 的边，

若最大流为 $c\times k$ 则答案 $k$ 合法。

把每个人拆成 $k$ 个点，则问题变为判断这个二分图是否存在完美匹配，

由霍尔定理，二分图存在完美匹配，当且仅当左部点中任意 $k$ 个点与右部点中至少 $k$ 个点相连，

枚举人的子集 $S$，设其与 $T_S$ 种特产相连，

则这些人至多拆成 $T_S$ 个点，每个人至多拆成 $\lfloor {\displaystyle \frac{T_S}{|S|}}\rfloor$ 个点，即答案至多为 $\lfloor {\displaystyle \frac{T_S}{|S|}}\rfloor$，

所以答案为 $\underset{S}{min}\lfloor {\displaystyle \frac{T_S}{|S|}}\rfloor$，问题变为链并数颜色，树剖套分块套 bitset 维护之。