第四十三次

A

考虑没有依赖，微调法易证按 ${\displaystyle \frac{a_i}{b_i}}$ 升序选择最优。

维护未加入根所在连通块的点集，每次考虑当前 ${\displaystyle \frac{a_i}{b_i}}$ 最小的点，

若其父亲已加入根所在连通块，直接将其加在根所在连通块之后，

否则将其加在其父亲之后，并成一个点重新加入点集，

这样每次点集大小减一，最终所有点被加入根所在连通块，即最终答案序列。

B

把从 $u$ 子树中叶子的拿球分成两个阶段，第一阶段拿 $t_u=\sum _{i\in \text{subtree}(u)}{a}_i-s_u$ 个球（$u$ 子树是满的），第二阶段拿 $s_u$ 个球（$u$ 子树被拿空）。

考虑 $u$ 的所有孩子两阶段的选法已经选定，把它们拼起来的方案数，

可以发现需要做完所有一阶段，再做所有二阶段，而每个阶段内操作顺序任意。

则共有 ${\displaystyle \frac{\left(\sum _{v\in \text{son}(u)}{t}_v\right)!\left(\sum _{v\in \text{son}(u)}{s}_v\right)!}{\prod _{v\in \text{son}(u)}{t}_v!\prod _{v\in \text{son}(u)}{s}_v!}}$ 种合并方案。

设 $f_u$ 表示 $u$ 子树拿球方案数，则 $f_u={\displaystyle \frac{\prod _{v\in \text{son}(u)}{f}_v\left(\sum _{v\in \text{son}(u)}{t}_v\right)!\left(\sum _{v\in \text{son}(u)}{s}_v\right)!}{\prod _{v\in \text{son}(u)}{t}_v!\prod _{v\in \text{son}(u)}{s}_v!}}$。

C

按括号建树，设 $s_u$ 表示 $u$ 子树内减号个数，

$f_{u,i}$ 表示 $u$ 子树中填 $i$ 个加号的表达式之和，$g_{u,i}$ 表示 $u$ 子树中填 $i$ 个加号的表达式后缀连乘之和，

设 $v$ 是 $u$ 的孩子，则有转移：

$$\begin{array}{rl}{s}_u& \leftarrow s_u+s_v+1\\ f_{u,i+j+1}& \leftarrow f_{u,i+j+1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{s_v}{j})f_{u,i}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{s_u}{i})f_{v,j}& (\text{填加号})\\ f_{u,i+j}& \leftarrow f_{u,i+j}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{s_v}{j})(f_{u,i}-g_{u,i})+g_{u,i}{f}_{v,j}& (\text{填乘号})\\ g_{u,i+j+1}& \leftarrow g_{u,i+j+1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{s_u}{i})f_{v,j}& (\text{填加号})\\ g_{i+j}& \leftarrow g_{i+j}+g_{u,i}{f}_{v,j}& (\text{填乘号})\end{array}$$

D

[NOIP2022] 比赛

咕