第四十九次

时效性

A

$\sum\limits_{i=1}^r\sum\limits_{j=0}^ia_jb_{i-j}=\sum\limits_{j=0}^ra_j\sum\limits_{i=0}^{r-j}b_i$，容易 $O(n)$ 单次。

B

考虑 $a_ix+b_iy>a_jx+b_jy\Leftrightarrow\dfrac xy>\dfrac{b_j-b_i}{a_i-a_j}$，记 $s_{i,j}=\dfrac{b_j-b_i}{a_i-a_j}$，

则 $\dfrac xy>s_{i,j}$ 时 $a_ix+b_iy>a_jx+b_jy$，$\dfrac xy<s_{i,j}$ 时 $a_ix+b_iy<a_jx+b_jy$，

$\dfrac xy=s_{i,j}$ 时 $i,j$ 任意排名，可以涵盖上面的情况，所以只需考虑这些取值。

枚举 $\dfrac xy$ 的取值 $k$，此时 $i,j$ 连通当且仅当 $i,j$ 任意排名，则此时的排名方案数为所有连通块大小阶乘之积。

注意所有 $i$ 比 $j$ 劣的方案之前已经算过，所以要减一。

C

不是前缀最大值的 $b_i$ 必定填在 $a_{i+m-1}$，否则操作结束后该值会在 $i$ 位之前。

是前缀最大值的 $b_i$ 可以填在 $a_{[1,i+m-1]}$，因为 $b_{[1,i-1]}$ 已被占据，而其后比它小的数必不是前缀最大值，必填在 $i+m-1$ 后，

所以它不会被挤到 $i$ 后，必定落在 $i$ 位置。

把这 $z$ 个前缀最大值拿出来离散化，此时问题形如 $i$ 可以填在 $a_{[1,i+m-1]}$，问第 $k$ 小排列。

$\forall i\le \max(z-20,0)$ 必有 $a_i=i$，否则排名 $>20!>k$。

依次暴力填后 $20$ 位即可。

D

可以考虑插头 DP，