第五十次

时效性

A

记 $f(n)=\sum _{i=0}^{n-1}\text{popcount}(i\oplus (i+1))$，则 $f(n)=f(\sum 2^i)=\sum f(2^i)=\sum 2^{i+1}-1=2\sum 2^i-\sum 1=2n-\text{popcount}(n)$。

B

观察样例解释，发现每次按比例 All in 是最优方案，而此时幕后黑手的决策不会影响答案，直接模拟即可。

C

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i\in \text{subtree(u)}}d(u,i{)}^k\\ =& \sum _{i\in \text{subtree(u)}}\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{d(u,i)}{j})\left\{\begin{array}{c}k\\ j\end{array}\right\}j!\\ =& \sum _{j=0}^k\left\{\begin{array}{c}k\\ j\end{array}\right\}j!\sum _{i\in \text{subtree(u)}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{d(u,i)}{j})\end{array}$$

设 $f_{u,j}=\sum _{i\in \text{subtree(u)}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{d(u,i)}{j})$，则 $f_{u,j}=\sum _{i\in \text{subtree(u)}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{d(u,i)}{j})=\sum _{i\in \text{subtree(u)}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{d(u,i)-1}{j})-\sum _{i\in \text{subtree(u)}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{d(u,i)-1}{j-1})=f_{v,j}-f_{v,j-1}$。

然后这是子树内的，换根一遍得到全局的。

D

DFS 序分块，变成区间深度模 $x$ 等于 $y$ 的点加 $z$。散块暴力，考虑整块。

对 $x$ 根号分治。$x\le \sqrt{n}$ 时，维护 $X_{i,j,k}$ 表示 $i$ 块被形如模 $j$ 等于 $k$ 的修改加了多少即可。

$x>\sqrt{n}$ 时维护 $Y_{i,j}$ 表示 $i$ 块内深度为 $j$ 的点被 $x>\sqrt{n}$ 的修改加了多少，

枚举此次操作影响到的深度 $d$，则需要对 $Y_{[l,r],d}$ 区间加 $z$，在第一维上差分即可。

空间复杂度 $O(n\sqrt{n})$，调一调块长和阈值。