不知道第多少次 四

A

$\prod _{S\subseteq U}\sum _{S}i=\prod i^{\sum _{S\subseteq U}[\sum _{S}j=i]}$，指数可以 01 背包求出。

注意指数可能太大，欧拉定理降幂即可。

B

记当前喜好位置 $x$ 的人有 $a_x$ 个。

把每个人向其能住的房间连边，问题变为检测这张二分图有没有完美匹配，使用霍尔定理，

这张二分图存在完美匹配，当且仅当人的任意一个子集连向的房间数不少于这个子集的大小，

即 $\mathrm{\forall }[l,r]\subseteq [1,n-d],k(r-l+1+d)\ge \sum _{i=l}^r{a}_i\iff kd\ge \sum _{i=l}^r{a}_i-k$，即 $max\{\sum _{i=l}^r{a}_i-k|[l,r]\subseteq [1,n-d]\}\le kd$。

问题变为单点修改，求 $a_i-k$ 的最大子段和，线段树。

C

设 $f_{u,i}$ 表示以 $u$ 为根，DFS 序最大的点为 $i$ 的连通块的最大权值，

注意到第二维中所有没有限制的点本质相同，所以第二维只有本质不同的 $O(m)$ 个点。

考虑转移，显然有 $f_{u,k}\leftarrow max\{f_{u,k},f_{u,i}+f_{v,k}\}$，其中 $i$ 与 $v$ 不冲突。朴素枚举 $i,k$，转移复杂度 $O(m^2)$。

注意到只有最大的 $f_{u,i}$ 到各个 $f_{u,k}$ 的转移有用，于是 $O(m)$ 找出最大的 $f_{u,i}$，再 $O(m)$ 转移到各个 $f_{u,k}$ 即可。

D

结论：设一个局面中 $\mathtt{\text{11}}$ 不重叠地出现了 $a$ 次，$\mathtt{\text{0}}$ 出现了 $b$ 次，则这个局面 $(a,b)$ 的答案为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{a})$。

于是本质不同的局面只有 $n^2$ 种，每种局面的答案乘上出现次数之和就是答案，只需统计每种局面的出现次数。

设 $f_{i,j,k,1/0}$ 表示令 $[1,i]$ 形成局面 $(j,k)$，且往后加一个 $\mathtt{\text{1}}$ 后能 / 不能形成一个新的 $\mathtt{\text{11}}$ 的方案数，朴素转移即可。