NOIP 第十二次

只能说我技不如人

A

打个暴力发现

rrrrr...
yyyyy...
xxxxx...
yyyyy...
rrrrr...
yyyyy...
xxxxx...

很有前途，所以这样构造就完了。

B

题意杀！下面是人话翻译版：

同学的策略形如 $\{p_n\}$，其中 $p_i$ 表示救 $i$ 房间里的人的概率，而且显然有 $0\le p_i\le 1,\sum p_i\le 1$。

求最小的 $m$，使得存在一种同学的策略，满足无论老师刀哪个房间的人，刀掉的期望人数都不超过 $m$。

二分答案 $m$。老师刀 $i$ 房间的人时，期望刀掉 $a_i(1-p_i)$ 个人，

则要求 $\forall i,a_i(1-p_i)\le m\Leftrightarrow\forall i,p_i\ge 1-\dfrac m{a_i}$，问能不能造出合法的 $p$。

直接把每个 $p_i$ 取到下界 $\max\{1-\dfrac m{a_i},0\}$，检查 $\sum p_i$ 是否不超过 $1$ 即可。

C

设 $f_S$ 表示从小到大（即使用 $[1,|S|]$ 的数）填完 $S$ 中的位置的方案数，考虑转移。

定义 $S$ 合法，当且仅当由 $S$ 开始至少能填出 $1$ 种满足题目要求的排列，

考虑 $S$ 合法的条件，设 $k$ 为 $S$ 中最长全零段的长度：

• $\forall i\le k,F(i)>|S|$：存在长度为 $i$ 的全零段 $L$，则最终 $L$ 中一定都是大于 $|S|$ 的数，
  所以 $L$ 的最小值一定大于 $|S|$，则所有长度为 $i$ 的段的最小值的最大值 $F(i)$ 一定大于 $|S|$。

• $\forall i>k,F(i)\le|S|$：不存在长度为 $i$ 的全零段，则所有长度为 $i$ 的段中都有小于等于 $|S|$ 的数，
  所以所有长度为 $i$ 的段的最小值都小于等于 $|S|$，则所有长度为 $i$ 的段的最小值的最大值 $F(i)$ 一定小于等于 $|S|$。

于是若 $S$ 不合法，$f_S$ 不能往出转移，否则 $\forall i\notin S$ 有转移 $f_{S\cup\{i\}}=f_{S\cup\{i\}}+f_S$。

发现并不需要记录每个位置是否被选，而只需记录全零段的长度集合便可转移（每次拆分一个全零段），

而全零段的长度集合大概只有划分数种，搜出所有状态即可。

D

先来一个阴间转化：令 A，B，C，D 点分别代表 A 型血，B 型血，AB 型血，O 型血，

边 $(u,v,1)$ 代表 $u,v$ 进行配血试验时有凝集反应，同理 $(u,v,0)$ 代表没有凝集反应。

设 $a_i=1/0$ 表示 $i$ 人有 A 原 / 抗 A 素，$b_i=1/0$ 表示 $i$ 人有 B 原 / 抗 B 素，

则 $(u,v,0)$ 要求 $\lnot(a_x\land\lnot a_y)\land\lnot(b_x\land\lnot b_y)=(\lnot a_x\lor a_y)\land(\lnot b_x\lor b_y)$ 为真，

$(u,v,1)$ 要求 $(a_x\land\lnot a_y)\lor(b_x\land\lnot b_y)=(a_x\lor b_x)\land(a_x\lor\lnot b_y)\land(\lnot a_y\lor b_x)\land(\lnot a_y\lor\lnot b_y)$ 为真，

2-SAT 即可。