NOIP 第十五次

时效性

A

观察规律，发现 $t$ 次变换后，二元组变为 $(ak+b(k-2^t),a(1-k)+b(2^t-k+1))$，其中 $k\in [1,2^t]$，

显然 $a+b\ne c+d$ 时不可行，$a+b=c+d$ 时只需找到令 $a$ 变为 $c$ 的最少步数，因为此时 $b$ 一定变为 $d$，

形式化地，需要找出最小的 $t$，使得其对应的 $k={\displaystyle \frac{c+2^{t}b}{a+b}}\in [1,2^t]$，

可以发现最小的 $t$ 不会超过 ${\log }_{2}p$，于是直接枚举 $t$ 即可。

B

前 $n-18$ 个数贪心分配（当前哪个集合和更小，就给哪个集合），分配完后两集合的和的差 $\mathrm{\Delta }$ 一定在 $[-W,W]$ 内，

数据随机，所以可以认为从后 $18$ 个数中选一些给第一个集合，选一些给第二个集合，给两集合选出的数的和的差一定可以取遍 $[-W,W]$，

所以搜出一种方案使得这个差为 $-\mathrm{\Delta }$ 即可。

C

记 $s_u$ 表示 $u$ 的子树大小。考虑一个点 $u$ 的工资何时可以被知道：

1. $s_u>k$：可以发现，$u$ 的工资可以被知道当且仅当 $u$ 没有兄弟。
2. $1<s_u\le k$：可以发现，$u$ 的工资不可能被知道。
3. $s_u=1$：可以发现，$u$ 的工资可以被知道，当且仅当 $u$ 没有兄弟，且 $u$ 的父亲有不少于 $k-1$ 个兄弟，且这些兄弟 $v$ 要么是叶子，要么 $s_v>k$。

设 $f_u$ 表示 $u$ 子树里最多知道多少个点的工资，考虑进行怎样的操作:

1. 建议不理：$f_u=\sum f_v$。
2. 只留一个 $s_v>k$ 的孩子：$f_u=1+\underset{s_v>k}{max}{f}_v$
3. 若 $u$ 有不少于 $k$ 个孩子，还可以把一个 $s_v>1$ 且 $f_v=0$ 的孩子删到 $s_v=2$，然后把其他 $s_v\le k$ 的孩子删到 $s_v=1$：$f_u=1+\sum f_v$。

三种方案取最大值即可。

D

$f_i$ 表示 $[1,i]$ 划分权值和，$h_i$ 表示 $[1,i]$ 形成的十进制数模 $998244353$，

$$\begin{array}{rl}{f}_i& =\sum _{j=0}^{i-1}{f}_j\times (h_i-h_j\times {10}^{i-j})\\ & =\sum _{j=0}^{i-1}{f}_j\times h_i-\sum _{j=0}^{i-1}{f}_j\times h_j\times {10}^{i-j}\\ & =h_i\sum _{j=0}^{i-1}{f}_j-{10}^i\sum _{j=0}^{i-1}{f}_j\times h_j\times {10}^{-j}\end{array}$$