NOIP 第十九次

备战 NOIP 2024！

A

容易发现只会操作前 $\left\lceil\dfrac n2\right\rceil$ 小的数，而需要使它们最终最大值最小，

设 $f_i$ 表示给一个数除以 $i$ 所需的最小代价，这个容易背包预处理出，

注意只需枚举倍数转移，所以复杂度是调和级数的。

二分答案，容易对每个数 $a_i$ 求出其至少需要除以 $b_i$，则其所需代价即为 $\min\limits_{j=b_i}^mf_j$，

检查所需的总代价是否不超过 $K$ 即可。

B

观察可知，对 $c_i$ 建 01Trie，对限制 $c_i\oplus x<K$，考虑 01Trie 上 $x\oplus K$ 这个数对应的路径，

对其中 $K$ 上对应位为 $1$ 的边，选择其兄弟边下方的子树，即可选出符合条件的所有 $c_i$。

将每个 $x\oplus K$ 插入 01Trie，类似线段树分治地，对每个叶子求出以其为路径终点的答案即可。

C

啥玩意，看不懂啊。

D

设 $f_{S,i}$ 表示限制每个点最多拿到 $S$ 票时，$i$ 的后代有多少个点需要把票投给 $i$ 的祖先，

对于一个 $S$ 容易 DP 出所有 $f_{S,i}$，于是可以二分出最小的 $S$ 使得 $f_{S,1}=0$（即存在合法方案），

此时有超过 $S$ 个后代的点一定可以，有少于 $S$ 个后代的点一定不行，只需考虑恰有 $S$ 个后代的点。

可以发现，只有满足：

1. $f_{S-1,u}=1$：令 $u$ 的后代都投 $u$，在 $S-1$ 的限制下可产生 $-1$ 的贡献。
2. 对 $1\to u$ 链上的所有 $i$，$f_{S-1,i}$ 均不为 $0$：这个 $-1$ 的贡献不会被中途的 $0$ 吸收。
3. $f_{S-1,1}=1$：加上这个 $-1$ 的贡献后，$f_{S-1,1}$ 可变为 $0$。

时，才可能使除 $u$ 外每个点都有不超过 $S-1$ 票，点 $u$ 才可以。