AT_arc132_e [ARC132E] Paw 题解

称一个极长无 $\mathtt{\text{.}}$ 区间为一段，则最终形态中一定有一段不变，其左侧全为 $\mathtt{\text{<}}$，右侧全为 $\mathtt{\text{>}}$。

也就是说，最终形态只有 $O(n)$ 种，而每种的 $\mathtt{\text{<}}$ 个数容易统计，只需考虑每种形态的出现概率。

设 $f_n$ 表示把含 $n$ 个 $\mathtt{\text{.}}$ 的前缀全变为 $\mathtt{\text{<}}$ 的概率，则 $f_n=(1-{\displaystyle \frac{1}{2n}})f_{n-1}$，

而把含 $n$ 个 $\mathtt{\text{.}}$ 的后缀全变为 $\mathtt{\text{>}}$ 的概率是对称的。

于是，设 $[l,r]$ 这一段左边有 $x$ 个 $\mathtt{\text{.}}$，右边有 $y$ 个 $\mathtt{\text{.}}$，

则 $[l,r]$ 不变，左侧全变为 $\mathtt{\text{<}}$，右侧全变为 $\mathtt{\text{>}}$ 这种形态的出现概率为 $f_x\times f_y$。

#include <cstdio>
#define M 998244353
#define int long long
int n, q, l, v[200050], f[200050], s[200050], t[200050];
char a[200050];
signed main()
{
    v[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= 2e5; ++i)
        v[i] = (M - M / i) * v[M % i] % M;
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 1e5; ++i)
        f[i] = f[i - 1] * (1 + M - v[i << 1]) % M;
    scanf("%lld%s", &n, a + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        s[i] = t[i] = a[i] == '.';
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        s[i] += s[i - 1];
    for (int i = n; i >= 1; --i)
        t[i] += t[i + 1];
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if (a[i] == '.')
        {
            int z = 0;
            for (int j = l + 1; j < i; ++j)
                z += a[j] == '<';
            z += l;
            q = (q + z * f[s[l]] % M * f[t[i]]) % M;
            l = i;
        }
    int z = 0;
    for (int j = l + 1; j <= n; ++j)
        z += a[j] == '<';
    z += l;
    q = (q + z * f[s[l]] % M * f[0]) % M;
    printf("%lld", q);
    return 0;
}