树的重心 树的直径 学习笔记

定义：以 $u$ 为根时最大子树最小的 $u$。

性质：

• 重心到所有点的距离和最小。（例：P1395 会议 ）
• 以重心为根时，所有子树大小 $\le {\displaystyle \frac{n}{2}}$。（一些结论的前置结论）
• 加 / 删叶子最多使重心移动一条边。（这个好像没啥用……不知道有没有动态树求重心的题）
• 把两棵树通过一条边相连，新的树的重心在原来两棵树重心的连线上（下一条结论的前置结论）。
• $u$ 子树的重心，一定在 $u$ 到 $u$ 的重孩子子树的重心这条路径上（例：CF685B）。

导出结论：$u$ 子树的重心一定在 $u$ 所在的重链上（可能有用）。

• 设 DFS 序列的（带权）中点为 $k$，则最浅的（带权）重心为 $k$ 上方第一个子树大小大于整棵树的一半的点（爱来自模拟赛）。

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定义：最长链。

性质：

• 设点集 $S_1$ 的直径为 $a\to b$，点集 $S_2$ 的直径为 $c\to d$，则 $S_1\cup S_2$ 的直径端点一定是 $a,b,c,d$ 中的两个点（例：Qtree4）。

感谢 Estelle_N

• 若一棵树存在多条直径，那么这些直径交于一点且交点是这些直径的中点（也就是树的中心）（没啥用）。