析合树学习笔记

析合树是一种连续段数据结构。

引入：

给定排列 $\{P_n\}$，求值域连续的段的个数。

概念

排列 是排列。

连续段 是值域连续的段，满足集合运算。

值域区间 是连续段值域的区间。

本原段 是不与其他连续段部分相交的连续段。

连续段集 $I_p$，本原段集 $M_p$。

形式化地，

定义序列 $P$ 是 $n$ 阶排列 $\iff |P|=n$ 且 $\mathrm{\forall }i\in [1,n],i\in P$。

定义 $(P,[l,r])$ 是连续段 $\iff \nexists x,z\in [l,r],y\notin [l,r],P_x<P_y<P_z$。

连续段 $(P,[l,r])$ 满足 $[l,r]$ 上的集合运算。

定义 $(P,[l,r])$ 的值域区间为 $[\underset{i=l}{\overset{r}{min}}{P}_i,\underset{i=l}{\overset{r}{max}}{P}_i]$。

定义连续段集 $I_p=\{A|A\text{是连续段}\}$。

定义连续段 $X$ 是本原段 $\iff \mathrm{\forall }A\in I_p,X\cap A=(P,\varnothing )$ 或 $X\subseteq A$ 或 $A\subseteq X$。

定义本原段集 $M_p=\{A|A\text{是本原段}\}$。

析点与合点

析合树的点集是 $M_p$。

概念

节点 $u$ 的 值域区间 为 $[u_l,u_r]$。

节点 $u$ 的 子节点序列 $S_u$ 是 $u$ 的极长真子本原段序列。

节点 $u$ 的 子节点排列 $P_u$ 是 $S_u$ 按值域区间左端点离散化的结果。

节点 $u$ 是 合点 当且仅当 $P_u$ 有序。

节点 $u$ 是 析点 当且仅当 $u$ 不是合点。

形式化地，

定义节点 $u$ 的值域区间为 $[u_l,u_r]$。

定义节点 $u$ 的子节点序列 $S_u=\{v|v⫋u,\nexists w⫋u,v⫋w\}$，且按 $v$ 的左端点排序。

注意，$v$ 的左端点不是 $v$ 的值域区间左端点。

定义节点 $u$ 的子节点排列 $P_{u,i}=|\{v_l\le {S_{u,i}}_l|v\in S_u\}|$。

定义节点 $u$ 是合点 $\iff \mathrm{\forall }i\in [1,|S_u|],P_{u,i}=i$ 或 $\mathrm{\forall }i\in [1,|S_u|],P_{u,i}=|S_u|-i+1$。

定义节点 $u$ 是析点 $\iff u$ 不是合点。

性质

$u$ 的子节点的并是 $u$。显然。

$u$ 是合点当且仅当 $S_u$ 的子段构成连续段。显然。

$u$ 是析点当且仅当 $S_u$ 的多元素真子段不构成连续段。

证明：若命题不成立，则 $S_u$ 构成连续段的极长真子段构成本原段，而此本原段未在析合树中出现。

形式化地，

$\bigcup _{v\in S_u}v=u$。

$u$ 是合点 $\iff \mathrm{\forall }[l,r]\subseteq [1,|S_u|],\bigcup _{i=l}^r{S}_{u,i}\in I_p$。

$u$ 是析点 $\iff \mathrm{\forall }[l,r]\subseteq [1,|S_u|],l<r,\bigcup _{i=l}^r{S}_{u,i}\notin I_p$。

建树

可以用 增量法 $O(n\log n)$ 建析合树。

将 $P_i$ 依次加入析合树，用一个栈维护 $P_j|j\in [1,i]$ 形成的析合森林。

策略

维护当前 $i$ 所在子树的根 $u$（初值为 $(P,[i,i])$），考虑 $u$ 与栈内节点的合并情况。

1. $u$ 能成为栈顶节点的子节点 $\iff$ 栈顶节点是合点且 $u$ 与栈顶节点的最右子节点能合并成连续段，令 $u$ 成为栈顶节点的子节点，然后令 $u\leftarrow$ 栈顶节点。
2. $u$ 不能成为栈顶节点的子节点，令 $u$ 与栈顶若干节点合并成连续段 $v$ 且 $|S_v|$ 最小。考虑 $v$ 的类型，容易发现此时 $v$ 是合点 $\iff |S_v|=2$。令 $u\leftarrow v$。
3. 重复上述方案直到不能进行（即找不到 2. 中合法的 $v$），将 $u$ 入栈。

（来自 CF，对 $\{9,1,10,3,2,5,7,6,8,4\}$ 建析合树）

根据上述策略，我们需要快速判断 $u$ 与一些点能否合并成连续段，即判断任意后缀 $[j,i]|j\in [1,i]$ 是否连续段。

子问题

考虑如何快速判断 $[j,i]|j\in [1,i]$ 是否连续段。

$P$ 是排列，所以 $[j,i]$ 是连续段当且仅当 $\underset{j\le k\le i}{max}{P}_k-\underset{j\le k\le i}{min}{P}_k=i-j$。

维护 $Q_j=\underset{j\le k\le i}{max}{P}_k-\underset{j\le k\le i}{min}{P}_k-i+j|j\in [1,i]$，则 $[j,i]$ 是连续段当且仅当 $Q_j=0$。

考虑更新 $i$ 时如何快速更新 $Q$。

在 $\underset{j\le k\le i}{max}{P}_k-\underset{j\le k\le i}{min}{P}_k-i+j$ 中，$j$ 是不变的，每次更新 $i$ 对 $Q_j$ 的贡献减一，最值的贡献不好维护。

设 $P_i$ 更新了 $B_i$ 个后缀最值的位置，注意到 $\sum _{i=1}^n{B}_i=O(n)$（单调栈结论）。

用单调栈维护后缀最值的位置，以后缀最小值为例。

维护单调递增的栈 $x$。不难发现 $P_{x_i}$ 是后缀 $[j,i]|j\in (x_{i-1},x_i]$ 的最小值。

$x_i$ 出栈时失去对 $Q_j|j\in (x_{i-1},x_i]$ 的贡献，所以 $Q_j|j\in (x_{i-1},x_i]\leftarrow Q_j+P_{x_i}$。

$i$ 入栈时获得对 $Q_j|j\in (x_{top},i]$ 的贡献，所以 $Q_j|j\in (x_{top},i]\leftarrow Q_j-P_i$。

后缀最大值同理。

转化为区间加，单点查询，找最左 $0$，线段树维护。

例题

P8600 [蓝桥杯 2013 省 B] 连号区间数 / CF526F Pudding Monsters

给定排列 $\{P_n\}$，求值域连续的段的个数。

考虑析合树内每个点的贡献。

由合点的性质，若 $u$ 是合点，则 $S_u$ 的任意子段构成连续段，即 $u$ 的贡献为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{|S_u|}{2})$。

由析点的性质，若 $u$ 是析点，则 $S_u$ 的任意多元素子段不构成连续段，即 $u$ 的贡献为 $1$。

注意到 $|M_p|=O(n)$，所以时间复杂度 $O(n\log n)$。

代码：指针 1.98KB 199ms 8.48MB，非指针 2.02KB 207ms 9.66MB

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一些序列上连续段问题可以转化为析合树上问题。

P4747 [CERC2017]Intrinsic Interval

给定排列 $\{P_n\}$，$m$ 次询问包含某区间的最短连续段。

只讨论在线做法。

考虑对询问区间 $[l,r]$，求出 $(P,[l,l]),(P,[r,r])$ 在析合树上的 LCA 为 $u$ 点。

由合点的性质，若 $u$ 是合点，则 $S_u$ 的任意子段构成连续段，$S_u$ 上二分包含 $[l,r]$ 的最短子段即可。

由析点的性质，若 $u$ 是析点，则 $S_u$ 的任意多元素子段不构成连续段，即答案为 $u$。

代码：非指针 2.79KB 2.65s 33.56MB

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没了的 JDOI G LAOI R1 没了的 T4 LAOI 没了的入团赛 T4 无中生题

给定排列 $\{P_n\}$，$m$ 次询问包含某区间的连续段数量。

这题比较饱经风霜，所以题解比较详细（

考虑对询问区间 $[x,y]$，求出 $(P,[x,x]),(P,[y,y])$ 在析合树上的 LCA 为 $u$ 点。

容易发现只有 $S_u$ 和 $\text{root}\to u$ 路径上的点产生贡献。

考虑 $S_u$ 的贡献，即计算有多少 $S_u$ 的真子段包含 $[x,y]$。（$u$ 的贡献算到 $\text{root}\to u$ 路径上）。

若 $u$ 是合点则 $S_u$ 上二分，若 $u$ 是析点则贡献为 $0$。

（$u$ 是合点的情况）

维护树上前缀和数组 $v_u$ 表示 $\text{root}\to u$ 路径的贡献。

令 $c=S_{u,i}$，考虑 $c$ 这一层对 $v_c$ 的贡献。

若 $u$ 是合点即统计有多少 $S_u$ 的真子段包含 $c$，跟上面完全一致，就不画图了。

若 $u$ 是析点则贡献为 $1$，即 $c$ 本身。

不难得到递推式：

$$v_c=\{\begin{array}{ll}{v}_u+i(|S_u|-i+1)-1& u\text{是合点（考虑包含 c 的真子段数量）}\\ v_u+1& u\text{是析点（析点的性质）}\end{array}$$

两部分贡献加起来即可。

代码：非指针 2.94KB 2.30s 140.51MB

众所周知析合树的题都可以不用析合树做，所以如果有人会不用析合树做这个可以私我（

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CF997E Good Subsegments

给定排列 $\{P_n\}$，$m$ 次询问某区间包含的连续段数量。

只讨论在线做法。

相当于区间 CF526F，所以考虑类似想法。

定义析合树内每个点的贡献：

由合点的性质，若 $u$ 是合点，则 $S_u$ 的任意子段构成连续段，即 $u$ 的贡献为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{|S_u|}{2})$。

由析点的性质，若 $u$ 是析点，则 $S_u$ 的任意多元素子段不构成连续段，即 $u$ 的贡献为 $1$。

定义 $S_u$ 上区间 $[l,r]$ 的价值为其中每个点的子树贡献和之和，若 $u$ 是合点，还要加上 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{r-l+1}{2})$。

考虑询问 $[x,y]$ 时，统计 $[x,y]$ 包含的极大 $S_u$ 上区间价值和。

设 $(P,[x-1,x-1])$ 为 $u$ 点，$(P,[y+1,y+1])$ 为 $v$ 点，$l=\mathrm{lca}(u,v)$，

$U$ 为 $u$ 的 $de{p}_u-de{p}_l-1$ 级祖先，$V$ 为 $v$ 的 $de{p}_v-de{p}_l-1$ 级祖先。

（黑色线段表示一个节点，红色，绿色线段表示需要统计的区间）

对于红色线段：

对于所有 $u$ 到 $U$（不含 $U$）的路径上的点 $o$，设 $o$ 在 $S_{f{a}_o}$ 的第 $i$ 位，则 $S_{f{a}_o}$ 上区间 $(i,|S_{f{a}_o}|]$ 被 $[x,y]$ 包含，需要统计其价值。

同理，对于所有 $v$ 到 $V$（不含 $V$）的路径上的点 $o$，设 $o$ 在 $S_{f{a}_o}$ 的第 $i$ 位，则 $S_{f{a}_o}$ 上区间 $[1,i)$ 被 $[x,y]$ 包含，需要统计其价值。

定义 $u$ 的点权为 $u$ 在 $S_{f{a}_u}$ 上的前 / 后缀（不含 $u$）价值，则转化为求静态树链点权和，树上前缀和维护之。

对于绿色线段：

设 $U$ 在 $S_l$ 的第 $L$ 位，$V$ 在 $S_l$ 的第 $R$ 位，则 $S_l$ 上区间 $[L+1,R-1]$ 被 $[x,y]$ 包含，需要统计其价值。

则转化为求 $S_l$ 区间价值，维护每个 $S_u$ 的前缀子树贡献和之和、每个点 $u$ 在 $S_{f{a}_u}$ 上的排名即可。

代码：非指针 3.33KB 685ms 51.67MB

比较不理解为什么 7s，放根号过去？

CF526F *3000，这个也 *3000？加个强制在线绝对不止

区间最长连续段维护方法相同，这里不再赘述。

闲话

析合树是可以 $O(n)$ 建树的……但是我不会

所以 CF526F 和 CF997E（Tarjan 求 LCA）都是可以 $O(n)$ 做的，比很多非析合树做法好（

但是看起来代码复杂度会巨大，先咕着。