【题解】CF891B Gluttory

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给定一个元素两两不同序列 \(a\)，要求生成一个新的序列 \(b\) ，使得对于任意一个下标集合（全集和空集除外），两个序列对应的数之和不同。

解析

这题 \(n\le 22\) 是骗人的……因为 spj 复杂度是 \(2^n\)……

注意到元素两两不同，考虑一个简单的操作：将每一个数用数值意义上的下一个数替换。当不考虑最大值时，这个操作显然可以满足条件。考虑将最大值替换成最小值并证明该结论。

令 \(f(S,a)=\sum\limits_{x\in S} a_x\)，即下标集合 \(S\) 在序列 \(a\) 中的元素和。并令 \(U=[1,|a|]\cap\mathbb{Z}\)，即下标集合的全集。

• 如果 \(S\) 不包括最大值，则显然 \(f(S,a)< f(S,b)\)；
• 如果 \(S\) 包括了最大值，考虑 \(S\) 的补集。根据上述结论，\(f(U-S,a)<f(U-S,b)\)。又因为 \(f(U,a)=f(U,b)\)，得证。

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