【题解】[SCOI2005] 超级格雷码 By 5ab as a juruo.

目录

• 题目信息
  • 题目描述
  • 输入格式
  • 输出格式
  • 数据规模与约定
• 分析
• 注意事项
• Code

题目信息

题目来源：CCF 四川省选 2005；

在线评测地址：Luogu#2328；

运行限制：时间不超过 \(1.00\ \textrm{s}\)，空间不超过 \(128\ \textrm{MiB}\)；

题目描述

著名的格雷码是指 \(2^n\) 个不同 \(n\) 位二进制数（即 \(0\)~\(2^n-1\)，不足 \(n\) 位在前补零）的一个排列，这个排列满足相邻的两个二进制数的 \(n\) 位数字中最多只有一个数字不同（例如 \(\texttt{003}\) 和 \(\texttt{001}\) 就有一个数位不同，而 \(\texttt{003}\) 和 \(\texttt{030}\) 有两个数位不同，不符合条件）。例如 \(n=2\) 时，\((\texttt{00},\texttt{01},\texttt{11},\texttt{10})\) 就是一个满足条件的格雷码。

所谓超级格雷码就是指 \(B^n\) 个不同的 \(n\) 位 \(B\) 进制数的排列满足上面的条件。

任务：给出 \(n\) 和 \(B\)，求一个满足条件的格雷码。对于大于 \(9\) 的数用 \(\texttt{A}\)~\(\texttt{Z}\) 表示。（分别表示 \(10\)~\(35\)）

输入格式

只有一行，为两个整数 \(n\) 和 \(B\)。

输出格式

一共 \(B^n\) 行，每行一个 \(B\) 进制数，表示你所求得的符合条件的排列。

数据规模与约定

\(2\le B\le 36\)，\(1\le B^n< 2^{16}=65536\)

分析

我们要将二进制拓展到 \(B\) 进制。

如果你连二进制怎么做都不知道，出门左转慢走不谢。

按照题目中的意思，易证这种生成方法满足格雷码性质。我们可以凑出一个类似的做法：

• \(1\) 位超级格雷码有 \(0,1,2,\cdots,B-1\) 共 \(B\) 个。
• \(N\) 位格雷码由如下算法生成：
  • 对于第 \(2k\) 种，在前面加上 \(2k-1\)，后面接上逆序的 \(N-1\) 位超级格雷码；
  • 对于第 \(2k+1\) 种，在前面加上 \(2k\)，后面接上正序的 \(N-1\) 位超级格雷码。

我们也可以用证明二进制的方法来证明这个是正确的。这样我们就可以做出来这道题，获得 \(100\) 分的好成绩。

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当然，我们完全有更好的方法，可以在 \(\mathcal{O}(1)\) 的时间内进行转移。即——利用 lowbit 函数。

我们可以观察到，最后一位变化的时间，恰好是标号增加到 \(B^{n-1}\) 的时候，即 \(\operatorname{lowbit}_B(t)=B^{n-1}\)。

所以，我们计算一个 \(B\) 进制的 lowbit，就可以完成这个优化。如果不是因为输出的原因，上面那个做法就应该错了。

注意事项

• 进行 lowbit 操作时，标号应当从 \(0\) 开始而不是 \(1\)；
• 如果使用后者进行转移，不要忘记在开始时特判；
• 别忘了这道题奇异的输出方式。

Code

#include <cstdio>
using namespace std;

int lowbit(int n, int b)
{
	int x = 1, t = 0;

	while (!(n % (x * b)))
		x *= b, t++;
	
	return t;
}

int bts[16] = {};

int main()
{
	int n, b, t = 1;

	scanf("%d%d", &n, &b);
	for (int i = 0; i < n; i++)
		t *= b;
	
	for (int j = 0; j < n; j++)
		printf("%c", (bts[j] < 10)? (bts[j] + '0'):(bts[j] - 10 + 'A'));
	putchar('\n');

	for (int i = 1; i < t; i++)
	{
		bts[lowbit(i, b)] = (bts[lowbit(i, b)] + 1) % b;
		
		for (int j = 0; j < n; j++)
			printf("%c", (bts[j] < 10)? (bts[j] + '0'):(bts[j] - 10 + 'A'));
		putchar('\n');
	}

	return 0;
}