【题解】Well-known Numbers

目录

• 题目信息
  • 题目描述
  • 输入格式
  • 输出格式
  • 数据规模与约定
• 分析
• 注意事项
• Code

题目信息

题目来源：Codeforces Round #139 (Div. 2)；

在线评测地址：CF#225B；

运行限制：\(2.00\ \textrm{s}/256\ \textrm{MiB}\)。

题目描述

Numbers \(k\)-bonacci (\(k\) is integer, \(k > 1\)) are a generalization of Fibonacci numbers and are determined as follows:

定义 \(k\) 阶斐波那契数列如下：

• \(F(k, n) = 0\), for integer \(n\), \(1 ≤ n < k\);
• \(F(k, k) = 1\);
• \(F(k, n) = F(k, n - 1) + F(k, n - 2) + ... + F(k, n - k)\), for integer \(n\), \(n > k\).

\[F(k,n)=\begin{cases} 0&1\le n<k\\ 1&n=k\\ \sum\limits_{i=1}^k F(k,n-i)&n>k\end{cases} \]

Note that we determine the k-bonacci numbers, F(k, n), only for integer values of n and k.

\(F(k,n)\) 只对整数定义（或者严格来说是正整数）。

You've got a number \(s\), represent it as a sum of several (at least two) distinct \(k\)-bonacci numbers.

你得到了一个数 \(s\)，试用若干个互异的 \(k\) 阶斐波那契数的和表示。数据保证存在解。

输入格式

一行，\(s\) 和 \(t\)。

输出格式

第一行一个正整数 \(m\)，表示所用来表示和的数的个数。

下一行 \(m\) 个正整数，表示数。每个数都应该是 \(k\) 阶斐波那契数，且和为 \(s\)。

数据规模与约定

\(1\le s,k\le 10^9\)，\(k>1\)。

分析

给出一个数列的定义，要求用这个数列的某些互异的项之和来表示某个数。

首先，注意到这个数列的定义，以及这个数列是单调的，我们不妨考虑一下贪心。即：自后往前选，选到可以选进去的就选进去。

对于这个做法，我们要考虑这么几个问题：

1. 这个做法是否一定存在可行解？
2. 这个做法能否满足互异和至少两个的要求？

---

首先是可行性的问题。根据事后诸葛亮可以推断确实是可行的。我们可以先证明几个引理：

\(\texttt{Lemma 1}\)：\(F(k,n+1)\le 2F(k,n)\)。

由定义显然可证。

\(\texttt{Lemma 2}\)：\(F(k,k+t)=2^{t-1}(1\le t\le k)\)。

根据定义，简单推导可得。

\(\texttt{Theorem}\)：对于任意 \(s,k\)，使用贪心算法总有解。

• 当 \(1\le s<2^k\) 时，根据 \(\texttt{Lemma 2}\) 可得一定有解；
• 当 \(s\ge 2^k\) 时，不妨设 \(F(k,s^\prime) \le s<F(k,s^\prime+1)\)，此时利用贪心算法得到的下一步必然是 \(s-F(k,s^\prime)\)。

根据 \(\texttt{Lemma 1}\)，\(s-F(k,s^\prime)<F(k,s^\prime+1)-F(k,s^\prime)\le F(k,s^\prime)\)，即可以不使用 \(F(k,s^\prime)\)（或更大）来表示 \(s-F(k,s^\prime)\)。

综上，根据数学归纳法得证。

---

接下来就是一些有的没的的构造了。

对于互异而言是肯定不可能的，由定义易得。然而我们并不保证只有一个数的情况。

这个时候，我们可以加一个 \(0\)，这样就能水过去了（迫真）。

注意事项

• 注意是否对一个元素的情况特判；
• 注意是否有特殊处理前 \(k\) 个元素，同时注意元素的值域边界。

Code

#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;

typedef long long ll;
vector<ll> vt, ans;

int main()
{
	int s, k;
	ll t = 1;

	scanf("%d%d", &s, &k);
	
	vt.push_back(1);
	for (int i = 1; i < k && t <= s; i++, t <<= 1) // 特殊处理前 k 项，注意每一项都 <= s
		vt.push_back(t);
	
	while (true)
	{
		t = 0;
		for (int j = 0; j < k && j < vt.size(); j++) // 用定义推后面的项
			t += vt[vt.size()-j-1];
		if (t > s) // 利用单调性
			break;
		vt.push_back(t);
	}

	for (int i = vt.size() - 1; i >= 0; i--) // 贪心
		if (vt[i] <= s)
		{
			s -= vt[i];
			ans.push_back(vt[i]);
		}
	
	if (ans.size() > 1)
	{
		printf("%d\n", ans.size());
		for (int i = 0; i < ans.size(); i++)
			printf("%lld ", ans[i]);
	}
	else
		printf("2\n%lld 0\n", ans[0]); // 大小等于 0 时特判

	return 0; // 然后就 AC 了、
}