【题解】最小值

题目描述

有一个长度为 \(n\) 的序列，初始时序列中的数全为 \(2^{31}-1\)。

有 \(m\) 次操作，第 \(i\) 次操作为将序列中第 \(a_i\) 个数修改为 \(b_i\)。

记第 \(i\) 次操作后序列中的最小值为 \(s_i\)，你需要输出 \(\sum\limits_{i=1}^m s_i\times 10099^i\)。

\(a_i\) 和 \(b_i\) 用以下方法确定：

输入整数 \(x_0\)、\(x_1\)、\(a\)、\(b\)、\(c\)，令 \(x_i=(ax_{i-2}+bx_{i-1}+c) \bmod 2^{32}\quad (i\ge 2)\)，则 \(a_i=\left\lfloor\dfrac{x_{2i-1}}{4}\right\rfloor \bmod n\)，\(b_i=\left\lfloor\dfrac{x_{2i}}{4}\right\rfloor\)。

输入格式

一行七个整数 \(n\)，\(m\)，\(x_0\)，\(x_1\)，\(a\)，\(b\)，\(c\)。

输出格式

一行一个整数表示答案。

数据范围

测试时间限制 \(1000\ \mathrm{ms}\)，空间限制 \(256\ \mathrm{MiB}\)。

• 对于 \(10\%\) 的数据，\(1\le n,m\le 1000\)；
• 对于 \(50\%\) 的数据，\(1\le n,m\le 10^5\)；
• 对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le n,m\le 10^7\)，\(x_0\)、\(x_1\)，\(a\)，\(b\)，\(c\) 在 \(\left[0,2^{31}-1\right)\) 中均匀随机。

分析

注意到这题要求的操作很少，所以我们要考虑一些比较大胆的做法。

\(\mathtt{10\ pts}\)

很简单，记录一个数组，每一次修改以后的暴力扫一遍最小值，复杂度 \(\Theta(1)-\Theta(n)\)，稳稳超时。

\(\mathtt{50\ pts}\)

也很简单，随便套一个 \(\mathcal{O}(\log n)\) 的数据结构乱搞就行了。

\(\mathtt{100\ pts}\)

这个就有点难想到了。

根据数据范围，我们八成要设计一种查询 \(\Theta(1)\) 的算法。也就是单纯的修改 \(\Theta(1)\)，查询 \(\Theta(1)\)。

在脑中搜刮一下后，好像支持修改、查询，修改是 \(\Theta(1)\) 的就只有暴力了。

但在一般的题目中，毒瘤出题人都会设计数据卡暴力，使之在查询时跑得奇慢无比。

但是……我们发现，这题的操作都是伪随机生成的。难道……

考虑这样的算法：

维护数组 \(A\)，记录第 \(i\) 位的值 \(A_i\)。

修改：直接修改 \(A_i\)；

查询：

• 如果不是最小值所在的位置，则更新最小值和其所在位置。

• 如果是的话，则暴力更新最小值。

利用伪随机的性质，修改到最小值的概率为 \(\dfrac{m}{n}\)，则复杂度的数学期望

\[\begin{aligned}E(x)&=\dfrac{m}{n}\times \mathcal{O}(n)+\left(m-\dfrac{m}{n}\right)\times\mathcal{O}(1)\\&=\mathcal{O}(m)+\mathcal{O}(m)\\&=\mathcal{O}(m)\end{aligned} \]

可以通过本题。

Code

顺带一提，这道题有点卡空间……开 long long 就炸了。

#include <cstdio>
#include <climits>
using namespace std;

typedef unsigned int ui;
const int max_n = 10000000;
const ui mul = 10099;

ui nums[max_n];

int main()
{
	int n, m, min_pos = -1;
	ui x0, x1, a, b, c, ans = 0, tk = 1, xt, ai, bi, min_val = INT_MAX;
	
	scanf("%d%d%u%u%u%u%u", &n, &m, &x0, &x1, &a, &b, &c);
	
	for (int i = 0; i < n; i++)
		nums[i] = INT_MAX;
	
	for (int i = 0; i < m; i++)
	{
		ai = (x1 / 4) % n;
		
		xt = a * x0 + b * x1 + c;
		bi = xt / 4, x0 = x1, x1 = xt;
		
		xt = a * x0 + b * x1 + c;
		x0 = x1, x1 = xt;
		
		nums[ai] = bi;
		if (ai == min_pos && bi > min_val)
		{
			min_val = INT_MAX, min_pos = -1;
			for (int i = 0; i < n; i++)
				if (nums[i] < min_val)
				{
					min_val = nums[i];
					min_pos = i;
				}
		}
		else if (bi < min_val)
		{
			min_val = bi;
			min_pos = ai;
		}
		
		tk *= mul;
		ans += tk * min_val;
	}
	
	printf("%u\n", ans);
	
	return 0;
}

后记

这道题告诉了我们一个很有意思的道理——复杂度越大，适用范围越广。

同样地，复杂度小的，适用范围会小一点。

解题时，一般要选择适合的算法，即题目在适用范围之内，而且复杂度较优。这题就是一个很好的例子。