【题解】购物

题目描述

Jesseliu 喜欢购物（是的，千真万确！），他尤其喜欢那种横扫一片商店的快感。最近，他打算对南门口的商店实行他疯狂的购物计划。

南门口的商业区中最繁华的就是黄兴路步行街了。这条街上有 \(n\) 个商店，从 \(1\) 到 \(n\) 编号。Jesseliu 打算进攻 \(m\) 次，每次扫荡第 \(\left[ l_i,r_i\right]\) 个商店，Jesseliu 会把他经过的每一个商店扫荡一空（换句话说，一个商店不会被算作两次）。

因为连续地扫一片商店是很爽的，所以 Jesseliu 把一次扫荡的 happy 值定义为所有连续的一段没有被扫空的商店的 happy 值之和的平方的和，已被扫空的不再计算。

举个栗子

现在你不经意间得知了 Jesseliu 的购物计划，而你需要将这些计划排序并求出 Jesseliu 最多获得的 happy 值之和，如果算错了 Jesseliu 会卖萌，这可是很致命的哦！

输入格式

第一行为 \(n\) 和 \(m\)，意义如描述之所示。

接下来一行 \(n\) 个数，第 \(i\) 个数表示第 \(i\) 个商店的 happy 值。

接下来 \(m\) 行，每行两个数 \(l_i\)，\(r_i\) 表示 Jesseliu 第 \(i\) 次行动要扫荡第 \(l_i\) 到第 \(r_i\) 个商店。

输出格式

一行，包含一个数即为 Jesseliu 最多获得的 happy 值之和。

数据范围

测试时间限制 \(1000\,\textrm{ms}\)，空间限制 \(512\,\textrm{MiB}\)。

• 对于 \(30\%\) 的数据，\(n\le 10\)，\(m\le 8\)；
• 对于 \(60\%\) 的数据，\(n,m\le 1000\)；
• 对于 \(100\%\) 的数据，\(n\le 5000\)，\(m\le 10^6\)，\(0\le\) happy 值 \(\le 100\)。

保证 \(1\)

分析

一道很有意思的 DP 练习题。

\(30\;\mathtt{pts}\)

可以通过全排列获得所有的方案，再逐一计算答案。

复杂度：\(\Theta(m!\times mn)\)

\(60\;\mathtt{pts}\)

我们意识到区间的真实顺序并没有那么重要，更重要的是如何分割区间，使得这个方案是可行的而且是最优的。

同时，我们发现一味地去追求最长的区间并不一定正确。所以我们考虑 DP。

定义 \(f_i\) 为到第 \(i\) 个商店为止，能够产生的最大值。当然如果扫荡区间超过了 \(i\) 也是没有关系的。我们考虑从第 \(f_j\) 个点转移，必须 \(\exists k\quad\left[ i,j\right]\subseteq \left[ l_k,r_k\right]\)。

我们只要枚举能到的最远的点，再进行遍历转移。就能够在 \(\Theta(nm)\) 的时间复杂度内完成。

答案：\(f_n\)。

\(100\;\mathtt{pts}\)

这个优化实际上很好加。

注意到共有 \(10^6\) 个区间，但是如果区间 \(\left[l_i,r_i\right]\) 和 \(\left[l_j,r_j\right]\) 满足 \(l_i\le l_j\le r_j\le r_i\) （即区间 \(\left[l_j,r_j\right]\subseteq\left[l_i,r_i\right]\)）那么区间 \(\left[l_j,r_j\right]\) 就没有用了。因为如果 \(\left[l_j,r_j\right]\) 先，那么答案是不如 \(\left[l_i,r_i\right]\) 先的，同时因为包含关系，所以后面再次扫荡 \(\left[l_j,r_j\right]\) 答案就一定是 \(0\)，和不存在是一样的。

这样优化后，以一个商店开始的区间最多只有一个，所以区间数是 \(O(n)\) 的，复杂度就降至 \(\Theta(n^2)\)，可以承受。

Code

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int max_n = 5000, INF = 0x3f3f3f3f;

ll dp[max_n+1], pref[max_n+1];
int far[max_n], from[max_n], lp[max_n], rp[max_n];

inline ll sq(ll x) { return x * x; }
inline ll my_max(ll a, ll b) { return (a > b)? a:b; }

inline int read()
{
	int ch = getchar(), n = 0, t = 1;
	while (isspace(ch)) { ch = getchar(); }
	if (ch == '-') { t = -1, ch = getchar(); }
	while (isdigit(ch)) { n = n * 10 + ch - '0', ch = getchar(); }
	return n * t;
}

int main()
{
	memset(far, -1, sizeof(far));
	memset(from, 0x3f, sizeof(from));
	
	int n = read(), m = read(), nr_cnt = 0, tl, tr;
	
	pref[0] = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		tl = read();
		pref[i+1] = pref[i] + tl;
	}
	for (int i = 0; i < m; i++)
	{
		tl = read(), tr = read();
		
		if (far[tl-1] < tr - 1)
			far[tl-1] = tr - 1;
	}
	
	tl = -1;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		if (far[i] > tl)
		{
			tl = far[i];
			lp[nr_cnt] = i, rp[nr_cnt] = far[i];
			nr_cnt++;
		}
	
	for (int i = 0; i < nr_cnt; i++)
		for (int j = lp[i]; j <= rp[i]; j++)
			if (from[j] > lp[i])
				from[j] = lp[i];
	
	dp[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (from[i-1] != INF)
		{
			dp[i] = 0;
			
			for (int j = from[i-1]; j < i; j++)
				dp[i] = my_max(dp[i], dp[j] + sq(pref[i] - pref[j]));
		}
		else
			dp[i] = dp[i-1];
	}
	
	printf("%lld\n", dp[n]);
	
	return 0;
}

后记

这道题的难点就是在于想出 \(f_i\) 的状态定义。不要去试图使用哪个有点问题的贪心。

如果想不明白，可以试几组数据来手推一下，说不定就能想明白了。