【个人总结】常用 OI 技巧汇总

严格来说，这可能并不能算作学习笔记，但还是这么算了。

这篇文章可能全程比较沙雕，所以对于风格不要过度在意。

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咳咳，上面都是作者的废话。下面进入正题。

这篇文章主要介绍的是一些比较常用（？）的 OI 小技巧。这可能有助于在 OI 中获得优势（？\(\times 2\)）。

文章内容按照字典序排序。（啥时候想到就写一下吧）

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\(\textrm{I}\). 龟速乘

这是一个极其常用的小技巧，原因比较简单，那就是比赛时常用。

通常来说，一道题的答案如果过大的话，有两种方案——高精度和取模。

但是，由于前一段时间（？\(\times 3\)）的接连不断的高精度把人弄得有一点烦，加上高精度本身也有复杂度一说，所以并不是一个理想的评测算法的工具。

取而代之，很多题目都会在题目末尾加上一句「答案对 \(998244353\) 取模」或类似的话。一来是解决内置变量存储上限，二来则是忽略计算复杂度。

但是，当模数极其接近变量上限边缘时，乘法就变得岌岌可危，比如：计算 \(123456789876\times 5432123456789 \bmod{192837465647389}\) 这种类似的东西。

咳咳，于是乎，我们就发明了一种很棒的东西。这可以解决模数上限的问题，但不可避免地会出现一点常数，虽然只有 \(O(\log n)\)。这就是龟速乘。

那说了这么多，龟速乘到底是个什么东西呢？？？？？说白了就是快速幂。为什么？

多次连乘是乘方运算，多次连加就是乘法运算

也就是说吧乘法变成一次次的加法而达到其目的，也就不可避免地有 \(O(\log n)\) 的多余复杂度。

但是！这并不是唯一的解决办法，网上还有通过 long double 来卡精度从而达到 \(O(1)\) 的龟速乘，这里不再赘述。

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\(\textrm{II}\). 快速幂

快速幂是位运算的应用中的一种，可以在 \(O(\log n)\) 的时间内计算形如 \(a^b\ (b\in \mathbb{N}^{*})\) 的算法。

简单来说，就是计算一个数列 \(\left<c_0,c_1,c_2,\cdots,c_k\right>\)，使得 \(b=\sum\limits_{i=0}^k \left(c_i\times 2^i\right)\)，这可以通过二进制分解在 \(O(\log n)\) 的时间内解决。

接下来是算法的精髓——注意到 \(2^i=2^{i-1} + 2^{i-1}\)，即 \(u^{2^i}=\left(u^{2^{i-1}}\right)^2\)。

\(\therefore\quad a^b=\prod\limits_{i=0}^k a^{2^i}\)

而预处理 \(a^{2^i}\) 是 \(O(k)\sim O(\log n)\)，总体就是 \(O(\log n)\)

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Updated on 2020-08-27

\(\textrm{III}\). 快读/快写

顾名思义，快读是一种加快读入速度的技巧。经实践比 cin 快一倍。如果使用 fread（俗称「光速读」），在 \(10^7\) 级别的整数读入时可以节省将近 \(60\ \textrm{ms}\) 的时间。

快读的核心操作就是减少判断来达到比 scanf 更快的效果。一般来说，快读的步骤是这样的：

1. 读入字符，直到发现数字或是负号；
2. 如果读入了负号，就打上标记；
3. 读入这个数，有标记的把标记打上。

所以，实现大概就是那个样子：

inline int read()
{
	int ch = getchar(), t = 1, n = 0;
	while (ch < '0' || ch > '9') { ch = getchar(); if (ch == '-') t = -1; }
	while (ch >= '0' && ch <= '9') { n = n * 10 + ch - '0', ch = getchar(); }
	return n * t;
}

当然，作为一项卡常神器，快读的奇特优化必然是少不了，接下来介绍几个比较常用的优化：

1. 库函数优化

用 ctype.h 内的 isspace 和 isdigit 函数来取代判断部分，这样可以很大程度上减少判断。

当然，如果题目中的数给定的是自然数就可以省去负数的判断。

2. 位运算优化

用异或和位移来加速加减法的优化。在某种意义上有一点作用，但是相比于下面这个就微不足道了 hh——

3.（重头戏）fread 读入优化

就是提前大块读入，然后做快读时直接调用数组。经测试是一种极其优秀的优化。

但由于其编写麻烦，一般只用于范围是 \(10^7\) 级别的 IO。

这里是一道用来卡常快读的题目，用你的快读把这道题 A 了吧！

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当然，我们也可以实现类似功能的快写。但是由于类似的功能不常用，所以一般不用大优化。

放一下模板（一般都是递归写的，想要手写栈也没事）：

void _write(int x)
{
	if (x > 9)
		_write(x);
	putchar('0' + x % 10);
}

inline void write(int x)
{
	if (x < 0)
		putchar('-'), x = -x;
	_write(x);
}

\(\textrm{IV}\). DFS 求拓扑序

没错，你没听错，拓扑序可以用 DFS 来求。这个神秘的技巧可以在 Tarjan 缩点后 DAG DP 中帮助省掉一大堆代码。

结论是：DFS 的出栈序是反图的拓扑序。自行手玩感性理解。