【学习笔记】线性基

目录

• 说在前面
• 线性基
  • 这是什么
  • 如何构造
  • 有什么用
    • 异或最大问题
• 例题
  • AtCoder zone2021_f：Encounter and Farewell

说在前面

前天，atcodering……看到一道题：给出一大堆异或关系，然后连边，求生成树。

我当时就懵了，这咋做啊？随便猜了一个结论，然后 wa+tle 炸飞了。

赛后，讨论：这不是线性基吗？

然后就有了这篇笔记。

线性基

这是什么

首先，线性基是线性的，是线性代数的，线性基是一个描述一个集合的异或性质的集合。具有如下性质：

1. 线性基值域与原集合相同；
2. 原集合中的所有数都可以由线性基异或得到；
3. 线性基是满足上述条件集合中，大小最小的一个。

举个例子：数列 \(1,2,9,10,17\) 的一个合法线性基就是 \(\{1,2,9,17\}\)。

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线性基有许多喜闻乐见的性质：

性质 \(\text{I}\)：线性基中，不存在子集使子集内所有数异或和为 \(0\)。

这个性质非常重要，关系到后面线性基的构造和应用。

考虑反证：如果存在，那么一定可以删掉一个元素。同时，这个元素的等价就是原子集中剩下的元素异或和。与线性基的最小性矛盾。

还是刚刚那个例子：如果出现了 \(\{1,2,9,10\}\) 这样的线性基，可以发现整体异或和为 \(0\)。

此时，我们可以将 \(10\) 删掉，原来包含 \(10\) 的式子就用 \(1\operatorname{xor} 2\operatorname{xor} 9\) 代替。

由于异或自己为零，异或零为本身，则这样的替换一定是合法的。

性质 \(\text{II}\)：线性基中数两两不同。

这就是性质 \(\text{I}\) 的简单推论了。

性质 \(\text{III}\)：存在线性基，使得不存在两个数二进制最高位位置相同。

这也是一个很重要的性质，因为 OI 中使用的线性基大多满足这个性质，这样可以根据二进制最高位来存储。

显然，如果有两个数二进制最高位位置相同，那么可以使其中一个成为两者的异或和。这样可以使二进制最高位位置变小，由于整数的离散性，必然可以在有限步内完成操作，即一定存在。

我们不妨把这样的线性基成为「最优线性基」，下文的线性基若无特别说明均指最优线性基。

性质 \(\text{IV}\)：线性基大小至多为 \(\left\lceil\log_2 \max\{S\}\right\rceil\)

因为每一位都至多有一个，所以显然。这是线性基的空间复杂度。

如何构造

构造线性基是一个很重要的过程。一般采用动态构造，即插入线性基。可以分解成如下两个步骤：

1. 检查该数能否由现有线性基得到；
2. 如果否，则将其插入线性基。

还记得「最优线性基」的性质吗？每个最高位至多一个数。那么，我们只需要从高到低遍历线性基，如果目前要插入的数 \(x\) 最高位存在数，则将 \(x\) 赋成两数异或和，如果遍历完了（最低位也被异或掉了，显然此时 \(x=0\)），则说明 \(x\) 可以由线性基得到。

否则，如果在某一时刻，\(x\) 最高位所对应的数为空，则易证线性基无法得到 \(x\)，直接将 \(x\) 插入该位即可。

代码非常简洁：

int f[n];
void ins(int x)
{
	for (int i = n-1; i >= 0; i--)
		if ((x >> i))
		{
			if (f[i] == 0)
			{
				f[i] = x;
				return 0;
			}
			x ^= f[i];
		}
}

由此可见线性基的复杂度是 \(\mathcal{O}(n\log n)\)，非常喜闻乐见。

有什么用

一句话：很有用。线性基可以解决很多整数异或问题。

异或最大问题

给定 \(n\) 个数，求这 \(n\) 个数经过异或计算后能得到的最大值。

我们可以先构造这 \(n\) 个数的线性基。显然这些数的异或就等价于线性基的异或。

那么，怎样通过线性基求得异或最大值呢？考虑贪心。从高往低扫，如果当前值可以使异或值变大就选择，否则不选。

显然，如果我们选择了这个让异或值变小的数，假设其最高位位置为 \(x\), 则易证此时异或值的第 \(x\) 位肯定为 \(0\)。

根据「最小线性基」的性质，后面所有的数均不能使这一位的异或值为 \(0\)。所以不选就是最好的选择（突然好有哲理.jpg）。

代码比构造还简洁，这里就不放了，不妨顺带做一做板子题？

例题

AtCoder zone2021_f：Encounter and Farewell

题目链接：https://atcoder.jp/contests/zone2021/tasks/zone2021_f。

给定 \(N\) 个节点（从 \(0\) 开始编号）和一个大小为 \(M\) 的集合 \(A\)，如果两个节点 \(i\)，\(j\) 满足 \(i\operatorname{xor} j\in A\)，则这两个节点之间没有连边，反之则有边。判断是否连通，如果是，求一棵生成树；否则输出 -1。

首先我们将不可行集 \(A\) 转变成可行集。然后我们可以发现一个结论：每次选择一个数 \(x\)，加入所有满足 \(i\operatorname{xor} j=x\) 的边，则连通块数量就会减半。

但是，经过进一步的观察，我们发现，当同时加入 \(x\)，\(y\) 时，再加入 \(x\operatorname{xor}y\) 就无效了。显然对于原来的 \(i\)，先加入的 \(x\)，\(y\) 会产生如下路径：\(i\rightarrow i\operatorname{xor} x\rightarrow i\operatorname{xor}x\operatorname{xor}y\)，如果再加入 \(x\operatorname{xor} y\) 就重复了。

所以我们考虑构造可行集的线性基，如果线性基内的数使得连通块数减到 \(1\) 就是合法的，然后就可以用形如 Kruskal 的方法随便生成一棵生成树即可。

当然这道题证明结论需要线性基，实际上可以暴力，但我不会。

Code：https://atcoder.jp/contests/zone2021/submissions/22257625。