NOIp模拟题 T1 篮球比赛1题解

题面

Czhou 为了提高机房里各种神牛的身体素质，决定在每次训练后举行篮球比赛。为了保持比赛公平，Czhou 要将神牛们分成两队。首先神牛们赛前都要排成固定的队伍；然后 Czhou将队伍分成一半（前一半和后一半队伍人数可以不等），再分别从两个队伍中选出一些人进行篮球比赛。为了保持公平性，Czhou 要求第一个队伍参加比赛的神牛能力的 XOR 值等于第二个队伍参加比赛的神牛能力的 and 值。为了增加比赛趣味，每次比赛的参加神牛们不能一样，Czhou 现在想知道可以举办多少天的比赛。(很明显参加比赛的人数不能为 0)

Xor 即为亦或, \(0 xor 0 = 0\), \(0 xor 1 = 1\), \(1 xor 0 = 1\) , \(1 xor 1 = 0\)。

And 即为与, \(0 and 0 = 0\) , \(0 and 1 = 0\) , \(1 and 0 = 0\) , \(1 and 1 = 1\)。

举个例子 \(10 and 2 = 10\)，\(10 xor 2 = 8\)， \(10 = (1010)_2\)，\(2 = (10)_2\)，\(8 =(1000)_2\)

Input:basketball1.in
第一行 n，表示机房有 n 个神牛。
第二行有 n 个数 a_i，表示各个神牛的能力值，并且这是赛前各个神牛的排队方式。

Output: basketball1.out
就一个数字，表示可以举办多少天比赛。由于天数会比较多，输出结果模 1000000007。

Sample1.input:

3
1 2 3

Sample1.output

1

Sample2.input

4
1 2 3 3

Sample2.output

4

样例 1 说明：1 xor 2 = 3

样例 2 说明：可以举办四天比赛，参加比赛的双方队伍分别是（1,2）（3）；（1,2）（3）；(1,2)(3,3)；（3）（3）这里虽然能力值相同，但是指的是不同的牛。对于(1,2)(3,3)来说，队伍分为两个队伍：(1,2)(3,3)，再从各自队伍选出全部选手参加比赛对于（3）（3）来说，队列分为两个队伍：（1,2,3）(3)，再从各自队伍中选出 3 进行比赛

数据范围：
\(0 \leq n \leq 10^3\)
\(0 \leq a_i <1024\)

题解

注意到异或和且运算的结果都不会超过\(1024\)，所以可以dp。设\(f_{i,j}\)表示第\(i\)个数在方案内且异或值为\(j\)时的方案数，\(g_{i,j}\)则为且运算的相应方案数，不过且运算要倒着处理。然后状态转移方程也很好写，关键在于最后如果进行简单的乘法原理会漏掉或者多算某些情况。

为了避免重复计算，我们一定要保证第\(i\)个数在方案内，这也是我们设计状态的原因。为了防止漏掉情况，再计算一下前\(i\)位的方案数前缀和，再使用乘法原理相乘即可。

Code

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n;
int a[1005],b[1005];
ll sum[3000],f[1005][3000],g[1005][3000];
ll ans;
int main()
{
	freopen("basketball1.in","r",stdin);
	freopen("basketball1.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		b[i]=a[n-i+1];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<1024;j++){
			f[i][j]=(f[i][j]+sum[j^a[i]])%mod;
		}
		f[i][a[i]]=(f[i][a[i]]+1)%mod;
		for(int j=0;j<1024;j++){
			sum[j]=(sum[j]+f[i][j])%mod;
		}
	}
	memset(sum,0,sizeof(sum));
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=0;j<1024;j++){
			g[i+1][j&b[i+1]]=(g[i+1][j&b[i+1]]+sum[j])%mod;
		}
		g[i+1][b[i+1]]=(g[i+1][b[i+1]]+1)%mod;
		for(int j=0;j<1024;j++){
			sum[j]=(sum[j]+g[i+1][j])%mod;
		}
	}
	memset(sum,0,sizeof(sum));
	for(int i=1;i<n;i++){
		for(int j=0;j<1024;j++){
			sum[j]=(sum[j]+f[i][j])%mod;
		}
		for(int j=0;j<1024;j++){
			ans=(ans+sum[j]*g[n-i][j])%mod;
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}